Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

виде матрицы-столбца

C=(i)

~Система уравнений называется совмесmноii, если она имеет хотя

бы одно решение, и несовмесmноiJ, если она не имеет ни одного

решения.

Совместная система называется определенноii, если она имеет единственное решение, и неопределенно11, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется часmн'ЬIМ решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему - это значит выяснить, совместна она или не­ совместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если

они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы

эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением

другой, и наоборот.

liJ

выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется однороihю11, если все сво­

бодные члены равны нулю:

{~~1-~~-~-~~~~~-~-:::~-~1-~~~-~-~'••

ат1Х1 + ат2Х2 + ···+ amnXn =О.

Однородная система всегда совместна, так как х1 = х2 = ···= Xn = О является решением системы. Это решение называется нулевым или

тривиальн-ым.

4.2.Решение систем линейных уравнений.

Теорема Кронекера-Капелли

Пусть дана произвольная система т линейных уравнений с п не­

известными

а11х1 + а12Х2 + ···+ a1nXn = Ь1,

{а21Х1 + а22Х2 + ···+ a2nXn = ~'

....................................

ат1Х1 + ат2Х2 + ···+ amnXn = bm.

30

Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой системы дает теорема Кронекера-Каnелли.

Теорема 4.1. Система Линейных алгебраических уравнений совместна

тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Примем ее без доказательства.

Правила практического разыскания всех решений совместной си­

стемы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.

Теорема 4.2. Если ранг совместной системы равен числу неизвест­

ных, то система имеет единственное решение.

Теорема 4.3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвест­

ных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Правило решения произвольной системы

линейных уравнений

1. Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если

т(А) -::/- т(А), то система несовместна.

2. Если т(А) = т(А) = т, система совместна. Найти какой-либо ба­

зисный минор порядка т (напоминание: минор, порядок которого опре­

деляет ранг матрицы, называется базисным). Взять т уравнений, из

коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные урав­ нения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в ба­

зисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные

п - т неизвестных называют свободны.ми и переносят в правые части

уравнений.

3.Найти выражения главных неизвестных через свободные. Полу­

чено общее решение системы.

4.Придавая свободным неизвестным произвольные значения, по­ лучим соответствующие значения главных неизвестных. Таким обра­

зом можно найти частные решения исходной системы уравнений.

При.мер 4.1. Исследовать на совместность систему

х + у= 1,

{

Зх +Зу= -2.

31

Q Решение:

Таким образом, r(A) # r(A), следовательно, система несовместна. 8

Пример 4.2. Решить систему

Q Решение: r(A) = r(A) = 2. Берем два первых уравнения:

Следовательно, хз = -х1 + 2х2, Х4 = 1 - общее решение. Положив,

4.3.Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными

{а11х1 + ai2X2 + ···+ ainXn = Ь1,

~~~~ ~::~~ ~-~~~~~-~~:+ •••.+_

an1X1 + an2X2 + ... + annXn - Ьn

или в матричной форме А · Х = В.

Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель

этой матрицы

д=

32

называется определителем систем'Ы. Если определитель системы от­ личен от нуля, то система называется невъ~рожден:ноii.

Найдем решение данной системы уравнений в случае д "1 О.

Умножив обе части уравнения А· Х = В слева на матрицу л-1 , получим л-1 ·А· Х = л-1 ·В. Поскольку л-1 ·А= Е и Е ·Х = Х, то

(4.1)

Отыскание решения системы по формуле (4.1) называют матри"t­

нъtм способом решения системы.

Матричное равенство (4.1) запишем в виде

то есть

Отсюда следует, что

Но А11 Ь1 + А21Ь2 + ···+ Ап1Ьп есть разложение определителя

по элементам первого столбца. Определитель д1 получается из опре­

делителя д путем замены первого столбца коэффициентов столбцом

из свободных членов.

и = ~

так, Х1 д.

Аналогично: х2 = ~, где д2 получен из д путем замены второго

столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; х3 - ~,...

-~

···,Хп - Д ·

33

называются формулами Крамера.

Итак, невырожденная система п линейных уравнений с п неиз­ вестными имеет единственное решение, которое может быть найдено

матричным способом (4.1) либо по формулам Крамера (4.2).

4.4.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов реше­ ний линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоя­

щий в последовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система уравнений

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На пер­

вом этапе (прямой ход) система приводится к ступен:чатому (в част­ ности, треугольному) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид

{а11Х1 + ai2X2 + ···+ alkxk + ···+ ainXn = Ь1, а22Х2 + · · · + a2kXk + · · · + a2nXn = Ь2,

...............................

akkXk + ···+ aknXn = bk,

где k ::::; п, а;; ~ О, i = 1,k. Коэффициенты aii называются главными

элементами системы.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определе­

ние неизвестных из этой ступенчатой системы.

34

Опишем метод Гаусса подробнее.

ПрямоiJ, ход.

Будем считать, что элемент а11 -:f: О (если а11 = О, то первым в

системе запишем уравнение, в котором коэффициент при х1 отличен

от нуля).

Преобразуем систему (4.3), исключив неизвестное х1 во всех урав­

нениях, кроме первого (используя элементарные преобразования си­

стемы). Для этого умножим обе части первого уравнения на _Qll и

ан

сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе

части первого уравнения на - Oill.. и сложим с третьим уравнением си­

а11

стемы. Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему

Здесь а~~), Ь~1) (i,j = 2, m) - новые значения коэффициентов и правых

частей, которые получаются после первого шага.

Аналогичным образом, считая главным элементом а~~) -:f: О, ис­

ключим неизвестное х2 из всех уравнений системы, кроме первого и

второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока это возможно.

Если в процессе приведения системы (4.3) к ступенчатому виду по­

явятся нулевые уравнения, т. е. равенства вида О= О, их отбрасывают.

Если же появится уравнение вида О = Ьi, а Ьi "# О, то это свидетель­

ствует о несовместности системы.

Второй этап (обратныil, ход) заключается в решении ступенча­ той системы. Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет

бесчисленное множество решений. В последнем уравнении этой си­

стемы выражаем первое неизвестное Xk через остальные неизвестные

(xk+1, ... , Xn)· Затем подставляем значение Xk в предпоследнее урав­ нение системы и выражаем Xk-l через (xk+l • ... , Xn); затем находим Xk-2, ... ,х1. Придавая свободным неизвестным (xk+i, ... ,xn) произ­

вольные значения, получим бесчисленное множество решений системы. За.ме-ч.ани.я: 1. Если ступенчатая система оказывается треуголь­ ной, т. е. k = п, то исходная система имеет единственное решение. Из

последнего уравнения находим Xn, из предпоследнего уравнения Xn-l,

далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные

(Xn-2, ... ,х1).

2. На практике удобнее работать не с системой (4.3), а с расши­

ренной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над

35

ее строками. Удобно, чтобы коэффициент а11 был равен 1 (уравнения

переставить местами, либо разделить обе части уравнения на а11 =/:- 1).

Пример 4.4. Решить систему методом Гаусса:

Q Решение: В результате элементарных преобразований над расши­

ренной матрицей системы

Поэтому общее решение системы: х2 = 5х4 -13хз -3; х1 = 5х4 -8хз -1. Если положить, например, х3 = О, х4 = О, то найдем одно из частных

Пример 4.5. Решить систему методом Гаусса:

Х1 + Х2 + Хз = 3,

{2х1 + Зх2 + 2хз = 7, 3х1 + х2 + хз = 5,

5х1 - Х2 - Х3 = 3.

Q Решение: Произведем элементарные преобразования над строчками

расширенной матрицы системы:

36

Полученная матрица соответствует системе

4.5. Системы линейных однородных уравнений

Пусть дана система линейных однородных уравнений

{а11х1 + а12Х2 + · · · + ainXn =О,

~~1.~~.~.~~~~~.~.:::~.~~~~~.~.~'

am1X1 +am2X2 + ···+amnXn =О.

Очевидно, что однородная система всегда совместна (r(А) = r(A)),

она имеет 'Нулевое (тривиалъное) решение х1 = Х2 = ···= Xn =О.

При каких условиях однородная система имеет и ненулевые реше­

ния?

Теорема 4.4. Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основ­ ной матрицы был меньше числа п неизвестных, т. е. r < п.

О Необходимость.

Так ка;к ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевид­ но, r ~ п. Пусть r = п. Тогда один из миноров размера п х п отличен

от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет

ме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение,

то r < п.

Достаточность.

Пусть r < п. Тогда однородная система, будучи совместной, явля­ ется неопределенной. Значит, она имеет бесчисленное множество реше­

Пусть дана однородная система п линейных уравнений с п неиз-

вестными

{ ~.'.·~~~-~'.'.~:_+ ·•·•·• ~~~~-~~-~о:

ап1Х1 + ап2Х2 + · · · + аппХn - О.

37

Глава 11. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ

АЛГЕБРЫ

Лекции 4-б 1

§5. ВЕКТОРЫ

5.1. Основные понятия

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скал.ярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.

Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определя­ ются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.

§Вектор - это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отре-

зок, имеющий определенную длину и определенное направление.

Если А - начало вектора, а В - его конец, то вектор обозначается

символом АВ или а. Вектор ВА (у него начало в точке В, а конец в точке А) называется nроmивоnо.1иr.нсн'ЬtМ вектору АВ. Вектор, про­

тивоположный вектору а, обозначается -а.

Длино11 или модулем вектора АВ называется длина отрезка и обо­

значается IABI. Вектор, длина которого равна нулю, называется нуле­

вым вектором и обозначается О. Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называется едини"tным век­

тором и обозначается через ё. Единичный вектор, направление которо­

го совпадает с направлением вектора а, называется ортом вектора а

и обозначается ifJ.

§Векторы а и Ь называются ко.11..11.инеарни.м.и, если они лежа: на

одной прямой или на параллельных прямых; записывают а 11 Ь.

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или

противоположно.

Нулевой: вектор считается коллинеарным любому вектору.

§Два вектора а и Ь называются равними (а= Ь), если они колли-

неарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Из определения равенства векторов следу-

ет, что вектор можно переносить параллельно

самому себе, а начало вектора помещать в лю­ бую точку О пространства.

39