Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

Теорема 31.б. Если многочлен Рп(х) с действительными коэффици­

ентами имеет комплексный корень а+ ib, то он имеет и сопряженный корень а - ib.

В разложении многочлена (31.3) комплексные корни входят сопря­

женными парами. Перемножив линейные множители

(х - (а+ ib)) ·(х - (а - ib)),

получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами

х2 + рх + q. В самом деле,

(х - (а+ ib))(x - (а - ib)) = ((х - а) - ib)((x - а)+ ib) =

= (х - а)2 + Ь2 = х2 - 2ах + а2 + Ь2 = х2 + рх + q,

где р = - 2а, q = а2 + Ь2 •

Таким образом, произведение линейных множителей, соответству­

ющих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом

сдействительными коэффициентами.

Сучетом вышеизложенного справедлив следующий факт.

Теорема 31.7. Всякий многочлен с действительными коэффициента­

ми разлагается на линейные и квадратные множители с действитель­

ными коэффициентами, т. е. многочлен Рп(х) можно представить в

виде

Рп(х) = ао(х - x1)k1 (x - X2)k 2 ••• (х - Хт)kр х

Х (х2 + Р1Х + q1) 81 ••• (х2 + PmX + qm) 8 m. (31.5)

При этом ki + k2 + ···+ kт + 2(s1 + s2 + ···+ sm) = n, все квадратные

трехчлены не имеют вещественных корней.

Примеры разложений (31.5):

= (х2 - бх + 9)(х3 - 1) = (х - 3) 2 • (х - 1)(х2 + х + 1).

Дробно-рациональная функция

~Дробно-рацuональноit функцuеit (или рацuональноit

дробью) называется функция, равная отношению двух многочле-

нов, т. е. f(x) = ~:(~~,где Pm(x) - многочлен степени m, а Qп(х) -

многочлен степени п.

240

~Рациональная дробь называется правильноiL, если степень числи­

теля меньше степени знаменателя, т. е. т < п; в противном случае

(если т ~ п) рациональная дробь называется неnравильноiL.

liJ Всякую неправильную рациональную дробь ~~~~ мООtС.но,

путем деления -числител,я на знаменатель, представить

в виде суммы много-члена L(x) и правильноiL рациональноiL

дроби ~' т. е.

cmeiiшимu рациональными дробями 1, 11, 111 и lV типов.

241

Теорема 31.8. Всякую прави.л:ьную рациональную дробь ~f~~, зна­

менатель которой разложен на множители

Q(x) = (х - X1)k 1 • (х - x2)k2 ••• (х2 +Р1Х +Q1) 81 ••• (х2 +PmX + Qm) 8 m,

можно представить (и притом единственным образом) в виде следую­

щей суммы простейших дробей:

Поясним формулировку теоремы на следующих примерах:

Mx+N

+ (х2 +х+1)2 "

Для нахождения неопределенных коэффициентов А1 , А2, ••. , В1 ,

В2, ... в равенстве (31.6) можно применить мemoiJ сравнивания коэф­

фициентов. Суть метода такова:

1. В правой части равенства (31.6) приведем к общему знаменате-

лю Q(x); в результате получим тождество iJffi = ~t~~, где S(x) -

многочлен с неопределенными коэффициентами.

2. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тожде­

242

3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (по те­

ореме 31.5 о тождестве многочленов) в обеих частях тождества (31.7),

получим систему линейных уравнений, из которой и определим иско­

мые коэффициенты А1, А2, ... , В1, ...

Приравнивая коэффициенты при х2 , х1 , х0, получаем

{2=-3 =А+-В2А,- В+ С,

-3 = 5А-С.

Решая систему, находим, что А= -1, В= 3, С= -2. Следовательно,

Для нахождения неопределенных коэффициентов применяют так­ же метод отделы-t'ЫХ з1ш-ч,ениii аргумента: после получения тожде­

ства (31.7) аргументу х придают конкретные значения столько раз, сколько неопределенных коэффициентов (обычно полагают вместо х

значения действительных корней многочлена Q(x)).

243

31.2. Интегрирование простейших рациональных дробей

Найдем интегралы от простейших рациональных дробей.

1. f __л__dx = лJ d(x - а) = A-ln lx-al+C (формула(2) таблицы

х-а х-а

Выделив в знаменателе полный квадрат, получим:

При.мер 31.5. Найти Jх2 ~х2~~ 10 dx.

244

О Решение: х2 + 2х + 10 = (х + 1) 2 + 9. Сделаем подстановку х + 1 = t.

Тогда х = t -1, dx = dt и

Данный интеграл подстановкой х + ~ = t сводится к сумме двух

интегралов:

(31.8)

К последнему интегралу применим интегрирование по частям. Поло­

жим

245

Полученная формула дает возможность найти интеграл Jk для любого натурального числа k > 1.

31.3. Интегрирование рациональных дробей

Рассмотренный в пунктах 31.1-31.2 материал позволяет сформу­ лировать общее nрави.ло интегрировшн:и.я рационалъных i)робе11.

liJ 1. Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы мно­ гочлена и правильной дроби;

2.Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на мно­

жители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дро­

бей;

3.Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

Прuмер 31. 7. Найти интеграл Jх5 + 2х3 + 4х + 4 dx.

х4 + 2х3 + 2х2

Q Решение: Под знаком интеграла неправильная дробь; выде.,-~им ее

целую часть путем деления числителя на знаменатель:

246

Получаем:

Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби:

Отметим, что любая рациональная функция интегрируется в эле­

ментарных функциях.

247

§32. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

ФУНКЦИЙ

32.1. Универсальная тригонометрическая подстановка

Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригоно­

метрических функций. Функцию с переменными sin х и cos х, над ко­

торыми выполняются рациональные действия (сложения, вычитание, умножение и деление) принято обозначать R(sinx;cosx), где R - знак

рациональной функции.

~ Вычисление неопределенных интегралов типа JR(siпx;cosx)dx

сводится к вычислению интегралов от рациональной функции под­

становкой tg i = t, которая называется универса.аьноii..

громоздкий, зато он всегда приводит к результату.

На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции. В частно­

сти, удобны следующие правила:

1) если функция R(sinx; cosx) 'lte'Чem'lta om'ltocumeлъ'lto sinx, т. е.

R(-sinx;cosx) = -R(sinx;cosx), то подстановка cosx = t рационали­

зирует интеграл;

2) если функция R(sin х; cos х) 'lte'Чem'lta om'ltocumeлъ'lto cos х, т. е.

R(sinx; - cosx) = -R(sinx; cosx), то делается подстановка sinx = t;

3) если функция R(sin х; cos х) 'Чem'lta om'ltocume.fi.ъ'lto sin х и cos х R(-sinx;-cosx) = R(sinx;cosx), то интеграл рационализируется под­

Q Решение: Сделаем универсальную подстановку t = tg i. Тогда dx =

248

Поэтому

32.2. Интегралы типа / sinm х · cos" xdx

Для нахождения таких интегралов используются следующие при­

= !(1 - cos 2х), sin х · cos х = ! sin 2х, если т и п - целые неотриv,а­

телъные четные числа;

4) подстановка tgx = t, если т + п - есть четное отрицательное

це.,-юе число.

Пример 32.3. Найти интеграл I = Jsin4 xcos5 xdx.

249