Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс
.pdfЗа.ме'Чание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверх ности получены для обыкновенных, т. е. не особых, точек поверхности. Точка М0 поверхности называется ocoбoii,, если в этой точке все част
ные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует. Такие точки мы не рассматриваем.
Пример 45.1. Написать уравнения касательной плоскости и нор
мали к параболоиду вращения z = х2 + у2 в точке l\rf0 (1; -1; 2).
Q Решение: |
Здесь z~ = f~(x;y) = 2х, J;(x;y) |
= 2у, f~(l;-1) |
= 2, |
|
J;(l; -1) = |
-2. Пользуясь формулами (45.2) и (45.3) |
получаем урав |
||
нение касательной плоскости: z - 2 = 2 · (х - |
1) - |
2 · (у + 1) |
или |
|
2х - 2у - z - |
2 = О и уравнение нормали: х 21 = |
У~21 = z ~12 . |
8 |
§ 46. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 46.1. Основные понятия
Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух пере менных аналогичны соответствующим понятиям функции одной неза висимой переменной (см. п. 25.4).
Пусть функция z = f(x; у) определена в некоторой области D, точка N(xo; Уо) Е D.
~ Точка (хо; Уо) называется точкоii. максимума функции z = = f(x; у), если существует такая д-окрестность точки (хо; у0), что для каждой точки (х; у), отличной от (х0; у0), из этой окрестности вы
полняется неравенство f(x; у) <!(хо; Уо).
~Аналогично определяется mо-ч.-
ка минимума функции: для |
z |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
всех точек (х; у), отличных от (хо; Уо), |
|
вg |
||||||
из д-окрестности точки (хо; Уо) вы |
|
|||||||
полняется |
неравенство: |
!(х; у) > |
|
|||||
|
|
|
|
itxo· уо\ |
, |
1 |
||
> f(xo; Уо). |
|
|
о |
J" |
' |
~. |
:f(x;y) |
1 : |
|
точка мак |
|
|
. . |
: 1 |
|||
На рисунке 209: N 1 - |
|
r ---- ' -- r ------- ' -- + --- |
||||||
симума, а |
N2 - точка |
минимума х |
|
|
~ ~у |
|||
функции z = f(x; у). |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ Значение функции в точке мак- |
|
|
|
Рис. 209 |
|
|||
симума (минимума) |
называется |
|
|
|
|
|
|
максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функ
ции называют ее экстремумами.
ji Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции
лежит внутри области определения функции; максимум и мини
мум имеют локал:ьнъ~'ii, (местный) характер: значение функции в точке
320
(хо; Уо) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (х0; у0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или
не иметь ни одного.
46.2. Необходимые и достаточные условия экстремума
Рассмотрим условия существования экстремума функции.
Теорема 46.1 (необхоАимые условия экстремума). Если в точке N(x0 ;y0 ) дифференцируемая функция z = f(x;y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: f~(x0;y0) =О,
!~(хо; Уо) =О.
О Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у= у0• То
гда получим функцию f (х; Уо) = ip(x) одной переменной, которая имеет
экстремум при х = х0. Следовательно, согласно необходимому условию
экстремума функции одной переменной (см. п. 25.4), <р1 (х0) = О, т. е.
f~(xo;Yo) =0. |
|
|
|
|
|
|
• |
|
Аналогично можно показать, что !~(хо; Уо) =О. |
||||||||
|
||||||||
Геометрически равенства |
f~ (хо; Уо) |
= |
О и |
|
||||
!~(хо; Уо) = О |
означают, |
что |
в |
точке экстрему |
z |
|||
ма функции z |
= f(x; у) |
касательная плоскость |
||||||
|
||||||||
к поверхности, |
изображающей функцию |
f(x;y), |
1 |
|||||
параллельна плоскости Оху, т. к. уравнение ка |
||||||||
|
||||||||
сательной плоскости есть z |
= |
z0 (см. форму- |
|
|||||
лу (45.2)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Заме-ч,ание. Функция может иметь экстремум |
|
|||||||
в точках, где хотя бы одна из частных производ |
|
|||||||
ных не существует. Например, функция z = 1 - |
|
|||||||
- ./х2 + у2 имеет максимум в точке 0(0; О) |
(см. |
Рис. 210 |
рис. 210), но не имеет в этой точке частных про-
изводных.
~Точка, в которой частные производные первого порядка функции
z = f(x; у) равны нулю, т. е. f~ =О, f~ = О, называется сmацио
нарно11, mo'Ч.кoii. функции z.
~Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная про
изводная не существует, называются криmи'Ч.ескими mо'Ч.ками.
Вкритических точках функция может иметь экстремум, а может
ине иметь. Равенство нулю частных производных является необхо-
димым, но не достаточным условием существования экстремума. Рас
смотрим, например, функцию z = |
ху. Для нее точка 0(0; О) |
являет |
ся критической (в ней z~ = у и z~ |
= х обращаются в ноль). |
Однако |
321
экстремума в ней функция z = ху не имеет, т. к. в достаточно малой
окрестности точки 0(0;0) найдутся точки для которых z >О (точки I и III четвертей) и z < О (точки П и IV четвертей).
Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной
области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть
дополнительному исследованию.
Теорема 46.2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стаци онарной точке (хо; Уо) и некоторой ее окрестности функция f(x; у)
имеет непрерывные частные производные до второго порядка вклю
чительно. Вычислим в точке (хо; Уо) значения А = f::x(xo; Уо). В = = J:,:y(xo; Уо). С= f~y(xo; Уо). Обозначим
д = 1 ~ ~ 1 = АС- В2.
Тогда:
1)если д >О, то функция f(x;y) в точке (хо;уо) имеет экстремум:
максимум, если А <О; минимум, если А> О;
2)если д < О, то функция f (х; у) в точке (хо; у0) экстремума не имеет. В случае д =О экстремум в точке (хо; у0) может быть, может не быть.
Необходимы дополнительные исследования.
Примем без доказательства.
Пример 46.1. Найти экстремум функции z = Зх2у- х3 -у4 •
Q Решение: Здесь z~ = 6ху - 3х2 , z~ = 3х2 - 4у3 • Точки, в которых
частные производные не существуют, отсутствуют.
Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:
{6ху - 3х2 =О,
3х2 -4у3 =О.
Отсюда получаем точки М1 (6; 3) и М2(0; О).
Находим частные производные второго порядка данной функции:
z" = 6у - 6х |
z" = 6х |
z" = -12у2 |
. |
хх |
' ху |
' уу |
|
В точке М1 (6;3) имеем: А= -18, В= 36, С= -108, отсюда |
|||
|
АС - |
В2 = -18 · (-108) - 362 = 648, |
т. е. д >О.
Так как А < О, то в точке М1 функция имеет локальный максимум:
Zmax = z(6; 3) = 3 · 36 · 3 - 63 - 34 = 324 - 216 - 81 = 27.
322
В точке М2(0; О): А = О, В = О, С = О и, значит, Л = О. Проведем дополнительное исследование. Значение функции z в точке М2 равно
нулю: z(O; О) = О, Можно заметить, что z = -у4 < О при х = О, у i=- О; z = -х3 > О при х < О, у =О. Значит, в окрестности точки М2(0;0)
функция z принимает как отрицательные, так и положительные зна
чения. Следовательно, в точке М2 функция экстремума не имеет. 8
46.З. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
Пусть функция z = f(x;y) определена и непрерывна в ограничен
ной замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых точках
D своего наибольшего Ми наименьшего т значений (т. н. глобалъны,i1
экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, располо
женных внутри области D, или в точках, лежащих на границе области.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений диф
ференцируемой в области D функции z = f(x; у) состоит в следующем: 1. Найти все критические точки функции, принадлежащие D, и
вычислить значения функции в них;
2.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x;y)
на границах области;
3.Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее m.
Пример 46.2. Найти наибольшее и наи |
у |
меньшее значения функции z = х2у + ху2 + ху
в замкнутой области, ограниченной линиями:
у= 1, х = 1, х = 2, у= -1,5 (см. рис. 211).
х |
- - - |
|
с у=~ |
|
|
||
|
'7·~:~ |
|
|
Q Решение: Здесь z~ = 2ху+у2 +у, z~ = х2 + |
о |
|
х |
+ 2ху +х. |
|
|
|
1. Находим все критические точки: |
А |
|
Е |
|
|
||
{у(2х +у+ 1) =О, |
Рис. 211 |
||
х(х + 2у + 1) =О. |
|
|
|
Решением системы являются точки (О;О), (-1;0), (О;-1), (-i;-i)·
Ни одна из найденных точек не принадлежит области D.
2. Исследуем функцию z на границе области, состоящей из участ
ков АВ, ВС, СЕ и ЕА (рис. 211).
323
На участке АВ: х = |
1, z = у2 + 2у, где у Е |
[-~;1], z~ = |
2у + 2, |
|||
2у + 2 = О, у = -1. Значения функции z(-1) |
= -1, z(-IO |
= |
-~, |
|||
z(l) = 3. |
1, z = х + 1 + 1, где х Е [1; 2], z~ = |
|
|
|||
На участке ВС: у = |
1 - |
~' |
||||
|
х |
|
х |
|
|
х |
1 - ..Ь = О, Х1 = 1, х2 |
= -1 |
tf. |
[1; 2]. Значения функции z(l) |
= 3, |
||
х |
|
|
|
|
|
|
z(2) = 3,5. |
|
|
|
[-~;!], z~ = |
|
|
На участке СЕ: х = |
2, z |
= |
2у2 + 6у, у Е |
4у + 6, |
||
4у + 6 =О, у=-~. Значения функции z(-~) = -4,5, z(!) = 3,5. |
||||||
На участке АЕ: у=-~, z = |
- 32 + !х, х Е [1;2], z~ = -3х + ~' |
-3х +!=О, х = :i ~ [1; 2]. Значения функции z(l) = -~, z(2) = -4,5.
3.Сравнивая полученные результаты, имеем:
М= +3,5 = z(2; ~) = z(C);
ат= -4,5 = z(2; -ю = z(E). |
• |
Глава Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1 Лекции 37-431
§ 47. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЯХ
47.1.Основные понятия
~При решении различных задач математики, физики, химии и дру-
гих наук часто пользуются математическими моделями в виде
уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Такие уравнения называются дифференциа.п:ьны
ми (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.). Решением дифферен циального уравнения называется функция, которая при подстановке в
уравнение обращает его в тождество.
Так, решением уравнения у'= f(x) является функция у= F(x) -
первообразная для функции f(x).
Рассмотрим некоторые общие сведения о дифференциальных урав
нениях (ДУ).
Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной перемен
ной, то ДУ называют обыкиовен:н:ым; в противном случае - ДУ в 'Часmи'Ых производиих. Далее будем рассматривать только обыкновен
ные ДУ.
Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется по-
рядком этого уравнения. |
. |
Например, уравнение у"' - 3у11 + 2у = О - |
обыкновенное ДУ тре |
тьего порядка, а уравнение х2у' + 5ху = у2 - |
первого порядка; у· z~ = |
= х ·z~ - ДУ в частных производных первого порядка.
Процесс отыскания решения ДУ называется его иитегрироваиие.м, а график решения ДУ - иитегра.л:ьиоit кривоit.
Рассмотрим некоторые задачи, решение которых приводит к диф ференциальным уравнениям.
47.2. Задачи, приводящие к дифференциальным
уравнениям
ЗаАача 1
Материальная точка массы т замедляет свое движение под дей
ствием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скоро-
325
сти V. Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки
через 3 с после начала замедления, если V(O) =100 м/с, а V(l) =50 м/с.
О Решение: Примем за независимую переменную время t, отсчитыва
емое от начала замедления движения материальной точки. Тогда ско
рость точки V будет функцией t, т. е. V = V(t). Для нахождения V(t) воспользуемся вторым законом Ньютона (основным законом механи
ки): т ·а= F, где а= V'(t) - есть ускорение движущегося тела, F -
результирующая сила, действующая на тело в процессе движения.
В данном случае F = - k V2 , k > О - коэффициент пропорциональ
ности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается).
Следовательно, функция V = V(t) является решением дифференци-
ального уравнения т · V' = -k ·V 2 или V' = _ .k_ V 2 . Здесь т - масса
т
re~
Как будет показано ниже (пример
48.5), V = k |
1 |
, где с - |
т ·t+c
const. Найдя зависимость скорости от времени, легко найти скорость
точки через 3 с после начала замедления.
Найдем сначала параметры .k. и с. Согласноусловию задачи, име m
ем: V(O) = ~ = 100 и V(l) = |
.li. ~с = 50. Отсюда с= |
5 |
, ~ = |
i0 |
. |
1 0 |
1 |
m
Следовательно, скорость точки изменяется по закону V = t 1~01. По-
этому V(З) = 25 м/с. |
8 |
Задача 2
Найти кривую, проходяшую через точку (4; 1), зная, что отрезок
любой касательной к ней, заключенный между осями координат, де-
лится в точке касания пополам.
у |
О Решение: Пусть М(х;у) - |
произвольная точка |
|
кривой, уравнение которой у |
= f(x). Для опреде |
||
|
Аленности предположим, что кривая расположена в
первой четверти (см. рис. 212).
|
|
Для составления дифференциального уравне |
|
|
|
ния воспользуемся геометрическим смыслом первой |
|
о хе в |
х |
производной: tg а есть угловой коэффициент каса |
|
тельной; в точке М(х;у) он равен у', т. е. у'= tgo:. |
|||
Рис. 212 |
|
||
|
Из рисунка видно, что tg(LM ВС) = ~g. Но |
||
|
|
||
|
|
tg(LMВС) = tg(180° - о:) = - tg а, |
МС= у. По условию задачи АМ =МВ, следовательно, ОС= СВ= х.
326
Таким образом, получаем - tg о: = '1l или у1 |
= - 'll. Решением па- |
|
х |
х |
.1. |
лученного дифференциального уравнения является функция у = |
||
|
|
х |
(гипербола). Решение будет приведено в п. 48.2 (пример 48.4). |
8 |
Другие задачи
Можно показать, что:
•закон изменения массы радия в зависимости от времени («радио активный распад») описывается дифференциальным уравнением
~7 = -k · т, где k > О - коэффициент пропорциональности,
m(t) - масса радия в момент t;
•«закон охлаждения тел», т. е. закон изменения температуры тела
в зависимости от времени, описываетсяуравнением ~I=k(T-t0 ),
где T(t) - температура тела в момент времени t, k - коэффици ент пропорциональности, t0 - температура воздуха (среды охла ждения);
•зависимость массы х вещества, вступившего в химическую реак
|
цию, от времени t во многих случаях описывается уравнением |
|
~~ = k · х, где k - коэффициент пропорциональности; |
• |
«закон размножения бактерий» (зависимость массы m бактерий |
|
от времени t) описывается уравнением m~ = k · т, где k >О; |
• |
закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты над |
|
уровнем моря описывается уравнением *= -k ·р, где p(h) - |
|
атмосферное давление воздуха на высоте h, k > О. |
Уже приведенные примеры указывают на исключительно важную роль дифференциальных уравнений при решении самых разнообраз
ных задач.
§48. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА 48.1. Основные понятия
Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае
можно записать в виде
F(x; у; у1) = О. |
(48.1) |
327
Уравнение связывает независимую переменную х, искомую функцию
у и ее производную у'. Если уравнение (48.1) можно разрешить отно сительно у', то его записывают в виде
у'= f(x; у) |
(48.2) |
и называют ДУ первого пор.ядка, разрешенным относител.ъно произ водноii. Мы в основном будем рассматривать эту форму записи ДУ. iJ Уравнение (48.2) устанавливает связь (зависимость) между коор-
динатами точки (х; у) и угловым коэффициентом у' касательной
к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно,
ДУ у'= f(x; у) дает совокупность направлений (поле направл.ениii) на
плоскости Оху. Таково геометрическое истолкование ДУ первого по
рядка.
Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, на
зывается изокл.иноii. Изоклинами можно пользоваться для приближен
ного построенмя интегральных кривых. Уравнение изоклины можно по
лучить, если положить у'= с, т. е. f(x; у)= с.
Пример 48.1. С помощью изоклин начертить вид интегральных
кривых уравнения у'= 2х. |
|
Q Решение: Уравнение изоклин этого ДУ |
у |
|
|
будет 2х =с, т. е. изоклинами здесь будут |
|
прямые, параллельные оси Оу (х = ~). |
|
В точках прямых проведем отрезки, обра |
|
зующие с осью Ох один и тот же угол а, |
|
тангенс которого равен с. |
|
Так, при с= О имеем х =О, tga =О, |
|
поэтому а = О; |
|
при с = 1 уравнение изоклины х = !, |
х |
поэтому tga = 1 и а= 45°; |
|
при с= -1: х = -!, tga = -1, а |
|
= -45°; |
Рис. 213 |
при с= 2: х = 1, tg а = 2, а = arctg 2 ~ 63° |
и т. д. |
Построив четыре изоклины и отметив на каждой из них ряд стре
лочек, наклоненных к оси Ох под определенным углом (см. рис. 213), по их направлениям строим линии. Они, как видно, представляют со
бой семейство парабол. |
8 |
Дифференциальное уравнение первого порядКа, разрешенное от носительно производной, можно записать в дифференv,иал.ъ?tо1i, форме:
Р(х; у) dx + Q(x; у) dy =О, |
(48.3) |
328
где Р(х;у) и Q(x;y) - известные функции. Уравнение (48.З) удобно
тем, что переменные х и у в нем равноправны, т. е. любую из них мож
но рассматривать как функцию другой. Отметим, что от одного вида
записи ДУ можно перейти к другому.
Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному мно
жеству решений (отличающихся друг от друга постоянными величи
нами). Легко догадаться, что решением уравнения у' = 2х является
функция у = х2 , а также у = х2 + 1, у = х2 - -J2 и вообще у = х2 +с,
где с - const.
Чтобы решение ДУ приобрело конкретный смысл, его надо подчи
нить некоторым дополнительным условиям.
Условие, что при х = хо функция у должна быть равна заданно му числу Уо, т. е. у = Уо называется ншчалъ·н:ым условием. Начальное
условие записывается в виде |
|
у(хо) = Уо или Ylx=xo = Уо· |
(48.4) |
Общим решением ДУ первого порядка называется функция у =
= <,о(х; с), содержащая одну произвольную постоянную и удовле-
творяющая условиям:
1. Функция <,о(х; с) является решением ДУ при каждом фиксиро
ванном значении с.
2. Каково бы ни было начальное условие (48.4), можно найти такое
значение постоянной с = ео, что функция у = <,о(х; ео) удовлетворяет
данному начальному условию.
~ Частным решением ДУ первого порядка называется любая
функция у = <,о(х; ео), полученная из общего решения у = <,о(х; с)
при конкретном значении постоянной с = ео.
Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т. е. в виде урав
нения Ф(х; у; с) = О, то такое решение называется общим интегралом ДУ. Уравнение Ф(х; у; ео) = О в этом случае называется -частным ин
тегралом уравнения.
С геометрической точки зрения у = <,о(х; с) есть семейство инте
гральных кривых на плоскости Оху; частное решение у = <,о(х; ео) - одна кривая из этого семейства, проходящая через точку (хо; у0).
~Задача отыскания решения ДУ первого порядка (48.3), удовлетво
ряющего заданному начальному условию (48.4), называется зада
'Чеu Коши.
Теорема 48.1 (существования и единственности решения задачи Коши). Если в уравнении (48.2) функция f(x;y) и ее частная про изводная f~(x; у) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (хо; Уо), то существует единственное решение у = <,о(х) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (48.4).
329