Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс
.pdf17.2.Связь между функцией, ее пределом
и бесконечно малой функцией
Теорема 17.5. Если функция f(x) имеем предел, равный А, то ее
можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции
а(х), т. е. если lim f(x) =А, то f(x) =А+ а(х).
х-+хо
Q Пусть lim f(x) =А. Следовательно,
Х-+Хо
(lfe >О 38 >О lfx: О< lx - xol < 8) ==> lf(x) -А/< е,
т. е. lf(x) - А - OI < е. Это означает, что функция f(x) - А имеет
предел, равный нулю, т. е. является б.м.ф., которую обозначим через
а(х): f(x) - А= а(х). Отсюда f(x) =А+ а(х). |
8 |
Теорема 17.б (обратная). Если функцию f(x) можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции а:(х), то число А является пределом функции f(x), т. е. если f(x) = А+ а(х), то
lim f(x) =А.
х-+хо
Q Пусть f(x) = А+а(х), где а(х) -6.м.ф. при х--+ хо, т. е. lim а:(х) =
х-+хо
=О. Тогда
(lfe >О 38 >О lfx: О< lx - xol < 8) ==> la:(x)I < е.
А так как по условию f(x) =А+ а(х), то а(х) = f(x) -А. Получаем
(lfc->0 38>0 |
lfx: O<lx-xol<8) ==> l/(x)-Al<e. |
• |
А это и означает, что |
lim f(x) =А. |
|
|
Ж--+Хо |
|
Пример 17.2. Доказать, что lim(5+x) = 7. |
|
|
|
х-+2 |
|
Q Решение: Функцию 5 + х можно представить в виде суммы числа 7 |
||
и б.м.ф. х - 2 (при х--+ 2), т. е. выполнено равенство 5 + х = 7 + (х - |
2). |
|
Следовательно, по теореме 17.6 получаем lim (5 + х) = 7. |
8 |
|
|
х-+2 |
|
140
17.3. Основные теоремы о пределах
Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда х ~ х0 и х ~ оо, аналогичны. В приводимых теоремах будем считать,
что пределы lim f(x), |
lim ip(x) существуют. |
|
|
x-txo |
x-txo |
|
|
Теорема 17.7. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме |
|||
(разности) их пределов: |
|
|
|
lim (f(x) |
± ip(x)) = |
lim f(x) ± |
lim ip(x). |
х--+хо |
|
х--+хо |
х--+хо |
О Пусть lim f(x) =А, lim ip(x) |
=В. Тогда по теореме 17.5 о свя- |
||
х-tхо |
x-txo |
|
|
зи функции, ее предела и 6.м.ф. можно записать f (х) = А + а(х) и ip(x) = В+ /З(х). Следовательно, f(x) + ip(x) =А+ В+ (а(х) + fЗ(х)).
Здесь а(х) + fЗ(х) - б.м.ф. как сумма 6.м.ф. По теореме 17.6 о связи
функции, ее предела и б.м.ф. можно записать |
lim (f(x)+ip(x)) = А+В, |
|||
|
|
x-txo |
|
• |
т. е. |
lim f(x) + lim |
|
||
lim (f(x) + ip(x)) = |
ip(x). |
|||
х--+хо |
х--+хо |
х--+хо |
|
|
В случае разности функций доказательство аналогично.
Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечно
го числа функций.
Следствие 17.З. Функция может иметь только один предел при
Х ~Хо.
О Пусть lim f(x) =А и lim |
f(x) =В. По теореме 17.7 имеем: |
||
x-txo |
x-txo |
|
|
О= lim (f(x) - |
f(x)) = |
lim f(x) - |
lim f(x) =А - В. |
х---+хо |
|
х--+хо |
х---+хо |
Отсюда А- В= О, т. е. А= В. |
|
• |
|
|
|
||
Теорема 17.8. Предел произведения двух функций равен произведе |
|||
нию их пределов: |
|
|
|
lim (f(x) · ip(x)) = lim f(x) |
· lim ip(x). |
||
x-txo |
|
x-txo |
x-txo |
141
Q Доказательство аналогично предыдущему, проведем его без особых
пояснений. Так как lim f(x) =А, |
lim ер(х) =В, то |
х--+хо |
х--+хо |
f(x) =А+ а(х), |
ер(х) =В+ /З(х), |
где а(х) и /З(х) - б.м.ф. Следовательно,
f(x) · ер(х) =(А+ а(х)) ·(В+ /З(х)),
т. е.
f(x) · ер(х) = АВ +(А· /З(х) +В· а(х) + а(х)/З(х)).
Выражение в скобках есть б.м.ф. Поэтому
lim f(x) · ер(х) =А· В,
Х--+Хо
т. е. |
|
lim (f(x)ep(x)) = lim |
f(x) lim ер(х). |
|
• |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
х--+хо |
х--+хо |
х--+хо |
|
||
|
Отметим, что теорема справедлива для произведения любого ко |
|||||||
нечного числа функций. |
|
|
|
|
||||
|
Следствие 17.4. |
Постоянный множитель можно выносить за |
знак |
|||||
|
предела: |
|
lim с· f(x) =с· |
lim f(x). |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
х--+хо |
|
х--+хо |
|
|
Q |
lim (с· J(x)) = |
lim с· |
lim J(x) =с· lim f(x). |
|
• |
|||
|
|
|||||||
|
х--+хо |
|
х--+хо |
х--+хо |
х--+хо |
|
|
|
|
Следствие 17.5. Предел степени с натуральным показателем равен |
|||||||
|
той |
же степени |
предела: |
lim (f(x))n |
= ( lim f(x))n. В |
частности, |
||
|
lim |
xn = х8, п Е N. |
х--+хо |
х--+хо |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
х--+хо |
|
|
|
|
|
|
|
Q lim (f(x))n = lim (f(x) · f(x) ·. "· f(x)) = lim f(x) "" · lim |
f(x) = |
|||||||
|
х--+хо |
х--+хо |
|
х--+хо |
х--+хо |
|
||
|
|
|
|
п сомножителей |
|
• |
||
= |
( lim f(x)) n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
х--+хо
Теорема 17.9. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на
предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
llffi.
х--+хо
/(Х) |
lim |
/(х) |
х--+хо |
|
|
--=---...,... |
||
ер(Х) |
lim |
ер(Х) |
Х--+Хо
( lim ер(х) -::/:- о).
Х--+Хо
142
Q Доказательство аналогично предыдущему. Из равенств
lim /(х) =А и |
lim <р(х) =В=/; О |
Ж-+Жо |
Ж-+Жо |
следуют соотношения f(x) =А+ о:(х) и <р(х) =В+ (З(х). Тогда
/(х) = А+ о:(х) = А + (А+ о:(х) _ А) = А + В· о:(х) - А· (З(х).
<р(х) в+ (З(х) в в+ (З(х) в в В2 +в. (З(х)
Второе слагаемое есть б.м.ф. как частное от деления 6.м.ф. на функ
цию, имеющую отличный от нуля предел.
П |
|
|
/(х) _ А |
|
1. |
|
|
|
lim |
f(x) |
• |
||
оэтому |
1' |
е. |
|
/tx) _ ж-+жо |
|
||||||||
|
llli |
( ) - |
В, т. |
|
lm |
|
|
) - |
....,l,.,..l'm~m--,-(x..,..) · |
||||
|
|
ж-+жо g Х |
|
|
ж-+жо <р Х |
|
ж-+жо |
т |
|||||
Рассмотрим пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 17.3. Вычислить lim(3x2 - |
2х + 7). |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
ж-+1 |
|
|
|
|
|
|
||
Q Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (3х2 - |
2х + 7) = lim 3х2 - |
lim 2х + lim 7 = |
|
|
|||||||||
ж-+1 |
|
|
ж-+1 |
|
ж-+1 |
|
ж-+1 |
|
|
|
|||
|
|
|
= 3(lim х)2 |
- |
2 lim х+ 7 = 3 · 1- 2 + 7 = 8. |
• |
|||||||
|
|
|
|
ж-+1 |
|
|
|
|
ж-+1 |
|
|
|
|
Пример 17.4. Вычислить lim х2 |
2+ 14х - |
32 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ж-+2 |
х |
- |
6х + 8 |
|
|
|||
Q Решение: Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т. к.
предел знаменателя, при х --+ 2, равен О. Кроме того, предел числи
теля равен О. В таких случаях говорят, что имеем неопределенность
вида 8. Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби
на множители, затем сократим дробь на х - 2 f=- О (х--+ 2, но х f=- 2):
lim х2 + 14х - 32 = lim |
(х - 2)(х + 16) = |
|
|
|
|||
ж-+2 х2 - 6х + 8 ж-+2 |
(х - 2)(х - |
4) |
|
|
|
|
|
- |
х + 16 |
|
lim (х + 16) |
|
2 + 16 |
-9 8 |
|
lim --- - |
ж-+2 |
- |
--- - |
||||
- ж-+2 х - 4 |
- |
lim (х - 4) |
- |
2 - 4 - |
· |
||
|
|
|
ж-+2 |
|
|
|
|
Пример 17.5. Вычислить lim |
2х2 |
+ 3х + 1. |
|
|
|
||
|
ж-+оо 4х2 |
+ 2х + 5 |
|
|
|
||
Q Решение: Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида 00 . Для
00
нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель
143
на х2 :
2х2 + Зх + 1 |
= lim |
2 + 1 + |
1 |
lim (2 + 1 + ~) |
1 |
||
lim |
х |
~ |
= х--+оо |
х |
х |
= -. |
|
х--+оо 4х2 + 2х + 5 |
х--+оо 4 + ~ + ~ |
lim (4 + ~ + ~) |
2 |
||||
|
|
х |
х |
х--+оо |
х |
х |
|
Функция 2 +;!+~есть сумма числа 2 и б.м.ф., поэтому
хх
lim |
(2 + ~ + 12 ) = 2; |
lim (4 + ~ + 52 ) |
= 4. |
• |
|
Х--+00 |
Х Х |
х--+оо |
Х Х |
|
|
17.4. Признаки существования пределов
Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например,
функция у = sin х при х -+ оо предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании преде
ла функции. В таких случаях пользуются признаками существования
предела.
Теорема 17.10 (о пределе промежуточной функции). Если функ ция f(x) заключена между двумя функциями 'Р(х) и g(x), стремящи
мися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т. е. если
lim |
ip(x) =А, |
lim g(x) =А, |
(17.6) |
х--+хо |
|
х--+хо |
|
|
'Р(х):::; f(x):::; g(x), |
(17.7) |
|
то
lim f(x) =А.
Х--+Хо
Q Из равенств (17.6) вытекает, что для любого е >О существуют две
окрестности 61 и 62 точки х0, в одной из которых выполняется нера
венство lrp(x) - AI < е, т. е.
-е < 'Р(х) - |
А < е, |
(17.8) |
а в другой lg(x) - AI < е, т. е. |
|
|
-e<g(x)-A<e. |
(17.9) |
|
Пусть 6 - меньшее из чисел 01 и 62. |
Тогда в 6-окрестности точки Хо |
|
выполняются оба неравенства (17.8) и (17.9). |
|
|
Из неравенств (17.7) находим, что |
|
|
ip(x) - А:::; f(x) - |
А:::; g(x) - А. |
(17.10) |
144
С учетом неравенств (17.8) и (17.9) из неравенства (17.10) следуют не
равенства -с:< f(x) - А< с: или l/(x) - |
AI <с:. |
|
|
|
|
Мы доказали, что |
|
|
|
|
|
Vc: >О 38 >О Vx: |
О< lx - xol |
< 8 ===} |
lf(x) - AI <с:, |
• |
|
то есть lim f(x) =А. |
|
|
|
|
|
х-+хо |
|
|
|
|
|
Теорему 17.10 иногда шутливо называют «принципом двух мили |
|||||
ционеров». Роль «милиционеров» играют функции rp(x) и g(x), |
функ |
||||
ция f(x) «следует за милиционерами». |
|
|
|
|
|
Теорема 17.11 (о пределе монотонной функции). Если функция |
|||||
f(x) монотонна и ограничена при х < х0 или при х > х0, |
то суще |
||||
ствует соответственно ее левый предел |
lim |
f(x) = f(x 0 |
- О) |
или |
|
|
|
х-+хо-0 |
|
|
|
ее правый предел lim |
f(x) =!(хо+ О). |
|
|
|
|
х-+хо+О |
|
|
|
|
|
Доказательство этой теоремы не приводим.
Следствие 17.б. Ограниченная монотонная последовательность Xn,
п Е N, имеет предел.
17.5. Первый замечательный предел
При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометри
ческие функции, часто используют предел
1. |
sinx |
1 |
(17.11) |
im -- =, |
|||
х-+0 |
Х |
|
|
~называемый первим замечаmел.ъним npeiJe.лoм. Читается:
предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда
аргумент стремится к нулю. Докажем равенство (17.11).
U Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла МОЕ че
рез х (см. рис. 113). Пусть О < х < ~· На рисунке IAMI = sinx, дуга
~МВ численно равна центральному углу х, IBCI = tg х. Очевидно, име
ем Sдмов < Sсектора мов < SдсОВ· На основании соответствующих
формул геометрии получаем ~ sin х < !х < !tg х. Разделим неравен-
ства на - |
sin х > О, получим 1 < ~ < - - |
или cos х < sin х < 1. |
1 |
1 |
|
2 |
SlПX COSX |
Х |
|
145
Так как lim cosx = |
1 и lim 1 = 1, то |
х-+0 |
х-+0 |
упо признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов
|
. |
sinx _ |
1. |
(17.12) |
|
|
1lill |
-- - |
|||
|
х-+0 |
Х |
|
|
|
|
(х>О) |
|
|
|
|
|
Пусть теперь х < О. Имеем |
sin х |
|||
|
|
|
|
х |
|
|
= sin(-x) , где -х > О. Поэтому |
||||
|
-х |
|
|
|
|
|
. |
sinx |
1. |
(17.13) |
|
Рис. 113 |
1lill |
-- = |
|||
х-+0 |
Х |
|
• |
||
|
(х<О) |
|
|
||
Из равенств (17.12) и (17.13) вытекает равенство (17.11). |
|||||
|
|||||
Пример 17.6. |
Найти lim sin3x. |
|
|
|
|
|
х-+О 2х |
|
|
|
|
О Решение: Имеем неопределенность вида §. Теоремао пределедроби
неприменима. Обозначим 3х = t; |
тогда при х --+ О и t |
--+ О, поэтому |
|
||||||
lim sin Зх = lim sin t |
= lim ~ . sin t |
= ~ lim sin t |
= ~ . 1 = ~. |
8 |
|||||
х-+О 2х |
t-+0 2 · ~ |
t-+0 2 t |
2 t-+0 t |
|
2 |
2 |
|
||
Пример 17. 7. |
Найти lim tg х. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
х-+0 |
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
1 |
· |
|
liml |
1 |
= 1. |
О Решение: lim tgx = lim sшх · -- = lim sшх. |
|
х-+0 |
= 1·- |
||||||
х-+0 |
Х |
х-+0 Х |
COS Х |
х-+0 Х |
lim cos Х |
1 |
• |
||
|
|
|
|
|
|
х-+0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
17.б. Второй замечательный предел |
|
|
|
|
|||||
Как известно, предел числовойпоследовательностиXn = |
( 1+ ~)n, |
||||||||
п Е N, имеет предел, равный е (см. (15.6)): |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
lim (1 + ~)n |
= е. |
|
|
(17.14) |
||
|
|
|
n-+oo |
n |
|
|
|
|
|
Докажем, что к числу естремитсяи функцияXn = |
( 1+~)х при х --+ оо |
||||||||
(х Е JR): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (1 + ~)х |
= е. |
|
|
(17.15) |
||
|
|
|
Х-+00 |
Х |
|
|
|
|
|
146
1. Пусть х --+ +оо. Каждое значение х заключено между двумя
положительными целыми числами: п ~ х < п + 1, где п = [х] - |
это |
||||||||||||||
целая частьх. Отсюдаследует |
п |
+l 1 < 1 |
~ 1, 1+ |
+l 1 |
< 1+1 ::;; 1+1, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
п |
|
п |
х |
п |
||
поэтому |
|
1 |
|
) n |
|
|
|
1) х |
|
|
|
1) n+l |
|
|
|
|
|
|
< |
( |
~ |
( |
|
|
|
||||||
|
( 1+n+1 |
|
|
1+; |
|
l+п |
. |
|
|
||||||
Если х--+ +оо, топ--+ оо. Поэтому, согласно (17.14), имеем: |
|
||||||||||||||
. |
( |
1 |
|
)n |
= |
nl~~(l + n~l)n+l |
е |
|
|
||||||
11m |
|
1 + -- |
|
lim (1 + __! |
) |
= - = е, |
|
||||||||
n-too |
п + 1 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n-+oo |
|
n+1 |
|
|
|
|
|
lim (1+.!)n+l = |
|
lim (1+.!)n· |
lim (1+.!) =e·l=e. |
|
|||||||||||
n-too |
n |
|
n-too |
|
|
n |
n-too |
|
n |
|
|
||||
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пре-
делов
|
|
|
|
|
|
lim (1 + .!)х |
= е. |
|
|
|
|
|
(17.16) |
||||||
|
|
|
|
|
|
x-t+oo |
|
|
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Пусть х--+ -оо. Сделаем подстановку -х = t, тогда |
|
|
||||||||||||||||
lim |
1 ) х |
= |
lim |
( |
|
1 )-t |
= |
|
lim |
( t |
|
) t |
= |
lim |
( |
1 ) t |
= |
||
( 1+- |
|
1-- |
|
|
|
-- |
|
1+ -- |
|||||||||||
х-+-оо |
Х |
|
t-++oo |
|
|
t |
|
|
t-++oo |
t - |
1 |
|
|
t-++oo |
|
t - 1 |
|
||
|
= lim |
( |
1 |
|
)t-1 |
· |
lim |
( |
|
1 |
)1 |
= |
е · 1 = |
е. |
(17.17) |
||||
|
1 + -- |
|
1 + -- |
|
|||||||||||||||
|
t-t+oo |
|
t - |
|
1 |
|
t-t+oo |
|
t - |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
Из равенств (17.16) и (17.17) вытекает равенство (17.15). |
|
|
|
||||||||||||||||
Если в равенстве (17.15) положить 1 |
=а (а--+ О при х--+ оо), оно |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
запишется в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
=е. |
|
|
|
|
|
(17.18) |
||
|
|
|
|
|
|
lim{l+o:)<> |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
a-tO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~Равенства (17.15) и (17.18) называются вторым замечатель-
ным пределом. Они широко используются при вычислении пре
делов. В приложениях анализа большую роль играет показательная
функция с основанием е. Функция у = ех называется эксnоненцu
а.л.ьноii, употребляется также обозначение ех = ехр(х).
Пример 17.8. Найти lim (1 + i)x.
|
|
|
х-+оо |
Х |
|
|
|
|
Q Решение: Обозначим х = 2t, очевидно, t--+ оо при х--+ оо. Имеем |
|
|||||||
lim (1 + -2)х = |
lim |
(1 + -1)2t |
= |
|
|
|
|
|
x-too |
Х |
t-+oo |
t |
|
|
(1 + -l)f |
= е · е = е.2 . |
• |
|
|
|
= lim (1 + -l)f |
· Jim |
||||
|
|
|
t-too |
t |
t-+oo |
t |
|
|
147
§ 18. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ
18.1. Сравнение бесконечно малых функций
Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести се
бя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно боль шой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к ка
кому пределу.
Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.
Пусть а= а(х) и /3 = /З(х) есть б.м.ф. при х-+ х0, т. е. |
lim а(х) = |
||||
|
|
|
|
|
Х-+Хо |
=О и |
lim /З(х) =О. |
|
|
|
|
|
х-+хо |
|
|
|
|
1. |
Если lim Q/3 = |
А =/; О (А Е Ж), то а и /3 называются бесконе·ч:н,о |
|||
|
Х--1-Хо |
|
|
|
|
|
малЪtми одного порядка. |
|
|
|
|
2. |
Если lim Q/3 =О, то а называется бесконе'Чно малоi:i более высо |
||||
|
х--tхо |
|
|
|
|
|
кого порядка, чем /3. |
|
|
|
|
3. |
Если lim Q/3 = оо, то а называется бесконе'Ч.но мало11, более низ |
||||
|
х-+хо |
|
|
|
|
|
кого пор.я.дка, чем /3. |
|
|
|
|
4. |
Если lim Q/3 не существует, то а и /3 называются несравнимыми |
||||
|
х-+хо |
|
|
|
|
|
бесконе'ЧНО малъtми. |
|
|
|
|
Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при х -+ ±оо, |
|||||
Х-+ Хо± 0. |
|
|
|
|
|
Пример 18.1. |
Сравнить порядок функций а = 3х2 |
и /3 = 14х2 |
|||
при х-+ оо. |
|
|
|
|
|
Q Решение: При х -+ О это б.м.ф. одного порядка, так как |
|
||||
|
|
lim ~ = lim Зх2 |
= ~ =/; О. |
|
|
|
|
х-+0 /3 |
х-+0 14х2 |
14 |
|
Говорят, что б.м.ф. а и /3 одного порядка стремятся к нулю с примерно
одинаковой скоростью. |
8 |
Пример 18.2. Являются ли функции а = 3х4 |
и /3 = 7х б.м.ф. |
одного порядка при х -+ О? |
|
148
Q Решение: При х --+ О функция а есть б.м.ф. более высокого порядка, |
||||||||||||||||
чем |
(3 |
, так как |
1. |
а |
1' |
3х4 |
1' |
Зхз |
= |
О |
. |
В |
этом случае |
б |
ф |
|
|
im |
-(3 = |
im -7 |
= im - 7 |
|
|
|
.м.. а |
||||||||
|
|
|
х--+0 |
|
х--+0 Х |
х--+0 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
||
стремится к нулю быстрее, чем (3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Пример 18.3. |
Сравнить порядок функций а= tgx и (3 = х2 |
при |
|||||||||||||
х--+ о. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Q Решение: Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
. |
а |
. |
|
tg х |
. |
sin х |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
11m - |
= 11m -- = 11m -- · -- · - = оо, |
|
|
|
||||||||||
|
|
х--+0 (3 |
х--+0 |
х2 |
х--+0 |
Х |
cos Х |
Х |
|
|
• |
|||||
то а есть б.м.ф. более низкого порядка, чем (3. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Пример 18.4. |
Можно ли сравнить функции а= х · sin 1 и /3 |
= х |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
при х--+ О? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Q Решение: Функции а = х ·sin 1 и (3 = х при х --+ О являются не
х |
|
|
|
|
сравнимыми б.м.ф" так как предел lim ~/3 |
= lim |
х · sin .!.х |
= lim sin 1 не |
|
х--+0 |
х--+0 |
Х |
х--+0 |
Х |
существует. |
|
|
|
8 |
18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные
теоремы о них
Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.
~ |
Если |
lim ~(3 = 1, то а и (3 называются эквuвалентнимu беско- |
~ |
|
х--+хо |
|
нечно малимu (при х --+ х0); это обозначается так: а,....., (3. |
|
|
Например, sin х ,....., х при х --+ О, т. к. lim sin х = 1; tg х ,....., х при |
|
|
1lffi. tgx |
х--+0 Х |
х --+ о' т. к. |
= 1. |
|
|
х--+0 Х |
|
Теорема 18.1. Предел отношения двух бесконечно малых функций
не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной
ей бесконечно малой.
О Пусть а,....., а' и (3,....., /3' при х--+ Хо. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
l1m. |
-а |
= |
l1m. |
(-а |
· -а' |
(3') |
= |
. |
а |
· |
. |
(3' |
· |
. |
а' |
= 1 · 1 · |
. |
а' |
|
· - |
11m |
- |
l1m |
- |
l1m |
- |
l1m |
- |
, |
||||||||||
Х--+Хо (3 |
|
Х--+Хо |
(3 |
Q:1 |
(31 |
|
Х--+Хо Q 1 |
|
Х--+Хо |
(3 |
|
Х--+Хо (31 |
|
Х--+Хо (3 |
1 |
||||
149