Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс
.pdf48.6. Уравнения Лагранжа и Клеро." ...... |
|
"""" . """ ... |
342 |
|||
§49. Дифференциальные уравнения высших порядков.. . . . . . |
. . . . . |
344 |
||||
49.1.Основные понятия" ... |
"." .... |
" .... |
" |
.. "" ....... |
".. |
344 |
49.2. Уравнения, допускающие понижение порядка.......... |
|
346 |
||||
49.3. Линейные дифференциальные уравнения высших |
|
|
||||
порядков . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . |
. . . . . . |
. . |
. . . . . . . . . . . . . |
. . . . |
349 |
49.4. Линейные однородные ДУ второго порядка. . . . . . . . . |
. . . . |
350 |
||||
49.5. Линейные однородные ДУ п-го порядка . . . . . . . . . . . . |
. . . . |
353 |
||||
§50. Интегрирование ДУ второго порядка с постоянными |
|
|
||||
коэффициентами. . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . |
. . . . . . |
. . |
. . . . . . . . . . . . |
. . . . . |
354 |
50.1. Интегрирование ЛОДУ второго порядка |
|
|
||||
с постоянными коэффициентами . . . . . . |
. |
. . . . . . . . . . . . . |
. . . . |
354 |
||
50.2. Интегрирование ЛОДУ п-го порядка |
|
|
|
|
||
с постоянными коэффициентами........................ |
|
|
|
|
357 |
|
§51. Линейные неоднородные |
дифференциальные уравнения |
|
||||
(ЛНДУ) ....................................................... |
|
|
|
|
|
358 |
51.1. Структура общего решения ЛНДУ второго порядка . . . . |
358 |
|||||
51.2. Метод вариации произвольных постоянных............. |
|
360 |
||||
51.3. Интегрирование ЛНДУ второго порядка |
|
|
||||
с постоянными коэффициентами и правой частью |
|
|
||||
специального вида . . . . |
. . . . . . . . . . . |
. . . . . |
. . |
. . . . . . . . . . . . . |
. . . . |
362 |
51.4.Интегрирование ЛНДУ п-го порядка (n > 2) |
|
|
||||
с постоянными коэффициентами и правой частью |
|
|
||||
специального вида . . . . . |
. . . . . . . . . . |
. . . . . |
. . |
. . . . . . . . . . . . . |
. . . . |
365 |
§52. Системы дифференциальных уравнений . . . |
. |
. . . . . . . . . . . . . |
. . . . |
367 |
||
52.1.Основные понятия ............................ |
|
|
|
"......... |
|
367 |
52.2. Интегрирование нормальных систем . . |
. |
. . . . . . . . . . . . . |
. . . . |
369 |
||
52.3. Системы линейных ДУ с постоянными |
|
|
|
|||
коэффициентами. . . . . . |
. . . . . . . . . . . |
. . . . . |
. . |
. . . . . . . . . . . . . |
. . . . |
372 |
Глава XI. ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
|
|||||
§53. Двойной интеграл................ |
" ...................... |
|
|
|
"... |
378 |
53.1.Основные понятия и определения....................... |
|
|
|
|
378 |
|
53.2. Геометрический и физический смысл двойного |
|
|
||||
интеграла................................................ |
|
|
|
|
|
379 |
53.3. Основные свойства двойного интеграла |
. . . . . . . . . . . . . |
. . . . |
381 |
|||
53.4. Вычисление двойного интеграла |
|
|
|
|
|
|
в декартовых координатах. . . . . . . |
. . . . . |
. . |
. . . . . . . . . . . . . |
. . . . |
382 |
|
53.5. Вычисление двойного интеграла |
|
|
|
|
|
|
в полярных координатах. . . . . . . . . |
. . . . . |
. . |
. . . . . . . . . . . . . |
. . . . |
386 |
|
53.6. Приложения двойного интеграла. . . . . |
. . |
. . . . . . . . . . . . . |
. . . . |
388 |
||
§54. Тройной интеграл. . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . |
. . . . . |
. . |
. . . . . . . . . . . . . |
. . . . |
391 |
10
54.1.Основные понятия....................................... |
391 |
54.2. Вычисление тройного интеграла |
|
в декартовых координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
392 |
54.3.Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление
тройного интеграла в цилиндрических и сферических
координатах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
. . . . . . . . . . . . 398
Глава ХП. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ |
|
§55. Криволинейный интеграл 1 рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
402 |
55.1.Основные понятия....................................... |
402 |
55.2. Вычисление криволинейного интеграла 1 рода. . . . . . . . . . |
404 |
55.3. Некоторые приложения криволинейного интеграла |
|
1 рода.................................................... |
405 |
§56. Криволинейный интеграл П рода............................. |
407 |
56.1.Основные понятия....................................... |
407 |
56.2. Вычисление криволинейного интеграла П рода . . . . . . . . . |
410 |
56.3. Формула Остроградского-Грина............... . . . . . . . . . . |
412 |
56.4. Условия независимости криволинейного интеграла |
|
П рода от пути интегрирования......................... |
414 |
56.5. Некоторые приложения криволинейного интеграла |
|
11 рода................................................... |
418 |
§57. Поверхностный интеграл 1 рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
420 |
57.1.Основные понятия....................................... |
420 |
57.2.Вычисление поверхностного интеграла 1 рода........... |
422 |
57.3.Некоторые приложения поверхностного интеграла |
|
1 рода.................................................... |
425 |
§58. Поверхностный интеграл П рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
427 |
58.1.Основные понятия....................................... |
427 |
58.2. Вычисление поверхностного интеграла П рода. . . . . . . . . . |
429 |
58.3. Формула Остроградского-Гаусса...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
431 |
58.4. Формула Стокса................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
433 |
58.5. Некоторые приложения поверхностного интеграла |
|
11 рода................................................... |
437 |
Глава XIII. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ |
|
§59. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
438 |
59.1.Основные понятия....................................... |
438 |
59.2. Ряд геометрической прогрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
441 |
59.3. Необходимый признак сходимости числового ряда. |
|
Гармонический ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
442 |
11
§60. Достаточные признаки сходимости |
|
знакопостоянных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
444 |
60.1.Признаки сравнения рядов.............................. |
444 |
60.2. Признак Даламбера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
446 |
60.3. Радикальный признак Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
448 |
60.4. Интегральный признак Коши. |
|
Обобщенный гармонический ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
449 |
§61. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды............... |
451 |
61.1. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.......... |
451 |
61.2.Общий достаточный признак сходимости |
|
знакопеременных рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
453 |
61.3. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. |
|
Свойства абсолютно сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
Глава XIV. СТЕПЕННЬШ РЯДЫ |
|
§62. Функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
457 |
62.1.Основные понятия....................................... |
457 |
§63. Сходимость степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
458 |
63.1. Теорема Н. Абеля.......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
458 |
63.2. Интервал и радиус сходимости степенного ряда . . . . . . . . |
459 |
63.3. Свойства степенных рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
462 |
§64. Разложение функций в степенные ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
463 |
64.1.Ряды Тейлора и Маклорена............................. |
463 |
64.2. Разложение некоторых элементарных функций |
|
в ряд Тейлора (Маклорена)............................. |
465 |
§65. Некоторые приложения степенных рядов.................... |
471 |
65.1.Приближенное вычисление значений функции .......... |
471 |
65.2. Приближенное вычисление определенных интегралов . . |
473 |
65.3. Приближенное решение дифференциальных |
|
уравнений................................................ |
475 |
Глава XV. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ |
|
§66. Ряды Фурье................................................... |
478 |
66.1. Периодические функции. Периодические процессы..... |
478 |
66.2. Тригонометрический ряд Фурье.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
480 |
§67. Разложение в ряд Фурье 2?Т-периодических функций . . . . . . . . |
483 |
67.1. Теорема Дирихле........................................ |
483 |
67.2.Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.. |
486 |
67.3.Разложение в ряд Фурье функций произвольного |
|
периода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
487 |
67.4. Представление непериодической функции |
|
рядом Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
489 |
12
67.5.Комплексная форма ряда Фурье........................ |
491 |
§68. Интеграл Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
493 |
Глава XVI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ |
|
§69. Основные понятия теории поля ............................... |
499 |
§ 70. Скалярное поле.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
501 |
70.1. Поверхности и линии уровня............................ |
501 |
70.2. Производная по направлению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
502 |
70.3. Градиент скалярного поля и его свойства. . . . . . . . . . . . . . . |
504 |
§ 71. Векторное поле............................................... |
506 |
71.1. Векторные линии поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
506 |
71.2. Поток поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
507 |
71.3.Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса... |
510 |
71.4. Циркуляция поля.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
513 |
71.5. Ротор поля. Формула Стокса............................ |
515 |
§ 72. Оператор Гамильтона......................................... |
518 |
72 .1. Векторные дифференциальные операции |
|
первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
518 |
72.2. Векторные дифференциальные операции |
|
второго порядка......................................... |
519 |
§ 73. Некоторые свойства основных классов векторных полей . . . . |
520 |
73.1.Соленоидальное поле.................................... |
520 |
73.2. Потенциальное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
521 |
73.3. Гармоническое поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
524 |
Глава XVII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ |
|
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО |
|
§ 74. Функции комплексного переменного.......................... |
525 |
74.1.Основные понятия....................................... |
525 |
74.2. Предел и непрерывность функции комплексного |
|
переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
527
532
535
производной. Понятие о конформном отображении . . . . . 538
. . . . . . . 540
интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
75.2. Теорема Коши. Первообразная и неопределенный |
|
интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. . . . . . . . . . . . . . . . . |
544 |
75.3.Интеграл Коши. Интегральная формула Коши ......... |
547 |
§ 76. Ряды в комплексной плоскости............................... |
551 |
76.1. Числовые ряды.......................................... |
551 |
76.2. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
553 |
76.3. Ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
555 |
76.4. Нули аналитической функции.................. . . . . . . . . . |
558 |
76.5. Ряд Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
558 |
76.6. Классификация особых точек. Связь между нулем |
|
и полюсом функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
563 |
§ 77. Вычет функции............................................... |
567 |
77.1.Понятие вычета и основная теорема о вычетах......... |
567 |
77.2. Вычисление вычетов. Применение вычетов |
|
в вычислении интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
568 |
Глава XVIII. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО |
|
ИСЧИСЛЕНИЯ |
|
§78. Преобразование Лапласа..................................... |
572 |
78.1.Оригиналы и их изображения........................... |
572 |
78.2. Свойства преобразования Лапласа...... . . . . . . . . . . . . . . . . |
576 |
78.3. Таблица оригиналов и изображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
588 |
§ 79. Обратное преобразование Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
590 |
79.1. Теоремы разложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
590 |
79.2. Формула Римана-Меллина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
593 |
§80. Операционный метод решения линейных |
|
дифференциальных уравнений и их систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
594 |
Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
599 |
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее пособие предназначено, в первую очередь, для студен
тов инженерно-технических специальностей; может быть полезным для всех категорий студентов, изучающих в том или ином объеме высшую математику. Оно представляет собой конспект лекций и адресовано, в основном, студентам первого и второго курсов. Набор освещаемых во
просов хорошо виден из оглавления.
Данный конспект содержит необходимый материал по всем раз делам курса высшей математики и дополнительным главам, необхо димым при изучении специальных курсов. Изложение теоретическо го материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого
количества примеров и задач, ведется на доступном, по возможности
строгом языке.
Пособие может быть использовано студентами также для самосто ятельного изучения соответствующего материала, является базой для
подготовки к семестровым зачетам и экзаменам по высшей математике.
Кроме того, книга должна помочь студенту и в тех случаях, когда он что-то не успел записать на лекции, какие-то лекции были пропу
щены, в чем-то трудно (или нет времени) разобраться по другим учеб
никам, когда некоторые вопросы «слишком длинны» в его конспектах
или много фактического материала, который следует изучить за огра
ниченное количество недель, дней.
Автор надеется, что данный курс лекций будет полезен и препода
вателям, а использование данного пособия будет способствовать более глубокому изучению студентами курса высшей математики и смежных
дисциплин.
Список обозначений:
Q 8 - начало и конец решения примера или задачи;
U 8 - начало и конец доказательства;
~- важные определения;
liJ |
- «обратите особое внимание!» |
В рамку заключены формулы, которые важно помнить.
Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Лекции 1-3 1
§ 1. МАТРИЦЫ 1.1. Основные понятия
Матрицеi"i называется прямоугольная таблица чисел, содержащая т строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины). Ма
трица записывается в виде |
|
|
А= ( ~~~ |
~~~ |
~-~·:· ) |
ат1 |
ат2 |
amn |
или, сокращенно, А= (aij), где i = 1,т (т. е. i = 1,2,3, ... ,m)-номер строки, j = 1, n (т. е. j = 1, 2, 3, ... , n) - номер столбца.
Матрицу А называют матрицей размера т х n и пишут Amxn· Чи сла aij, составляющие матрицу, называются ее элементами. Элемен
ты, стоящие на диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют главную диагональ.
~Матрицы равны ме-;нс.ду coбofi., если равны все соответствующие
элементы этих матриц, т. е.
А= В, если aij = bij, где i = 1,т, j = 1,n.
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратноfi.. Квадратную матрицу размера n х n называют матрицей п-го nорядка.
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов
главной диагонали, равны нулю, называется дu.агональноfi..
Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диаго
нали равен единице, называется еди.нu.-чноfi.. Обозначается буквой Е.
Пример 1.1.
Еи= о о
1
о
-единичная матрица 3-го порядка.
Enxn= с !
- единичная матрица п-го порядка.
16
~Квадратная матрица называется mреуго.п:ьноu, если все элемен
ты, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны
нулю.
~Матрица, все элементы которой равны нулю, называется ну.аевоu.
Обозначается буквой О. Имеет вид
0= (~ ~.... |
~)· |
оо ... о
Вматричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел О и 1
варифметике.
~Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется
вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответствен
но). Их вид:
А= ( ~~ ) , В= (Ь1Ь2. . . Ьп).
ат
Матрица размера 1х1, состоящая из одного числа, отождествля
ется с этим числом, т. е. (5)1х1 есть 5.
~Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столб
цом с тем же номером, называется матрицей mранспонирован
коu к данной. Обозначается Ат.
Так, если А=С ~),то Ат=(~ :) , если А=(~), то Ат=(1 О).
Транспонированная матрица обладает следующим свойством:
(Ат)т =А.
1.2. Действия над матрицами
Сложение
Операция сложения матриц вводится только для матриц одинако
вых размеров.
Су.м.моi1, авух .матри'Ц Amxn = (aij) и Bmxn = (bij) наЗЫJ><!Р.ТСЯ
матрица Cmxn = (cij) такая, что Cij = aij + bij (i = 1, т, j = 1, п).
Записывают С= А+ В.
Пример 1.2. |
-2 |
-5 |
-~) = ( ~ о |
-101) . |
|
( 4 |
5 |
||||
2 |
-3 |
3 |
3 |
о |
|
Аналогично определяется разность матриц.
17
Умножение на число
Произведением .матри'Ц'Ы Amxn = (aij) на -ч.исло k называется ма
трица Bmxn = (Ьij) такая, что Ьij = k · aij (i = 1, m, j = 1, n). Записы
вают В= k·A.
Пример 1.3.
А= ( ~ -~ ~ ) , k = 2, А·k = ( ~ -~ ~).
Матрица -А= (-1) ·А называется nротивоnолож;ноi1 .матрице А.
Разность матриц А - В можно определить так: А - В = А + (- В).
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обла
дают следующими своi1ствами: |
|
|
1. |
А+В=В+А; |
5. 1 ·А= А; |
2. А+ (В +С) = (А+ В) +С; |
6. о: · (А+ В) = о:А + о:В; |
|
3. А+О =А; |
7. (а+ ,В) ·А= аА + ,ВА; |
|
4. |
А-А=О; |
8. а· (,ВА) = (а.В) ·А, |
где А, В, С - матрицы, а и f3 - числа.
Элементарные преобразования матриц
Элементарн'Ы.ми преобразованиями .матриц являются:
•перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;
•умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;
•прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих
элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же чи сло.
~Две матрицы А и В называются эпвива,11,енmними, если одна из
них получается из другой с помощью элементарных преобразова ний. Записывается А ,...., В.
При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно
привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят под
ряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую
матрицу называют канони-ч.ескоii, например
(~о ~о ~1 ~)о
о о о о
18
Пример 1.4. Привести к каноническому виду матрицу
|
|
|
|
А=(~ |
~ |
!1 |
|
~). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
о |
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Q Решение: Выполняя элементарные преобразования, получаем |
|
|||||||||||||||
( о-----2 -1 |
|
|
|
~ |
~) |
,...., |
(~-3 |
~ |
; |
|
;) ,...., |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
t |
|
t |
|
|
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 о |
5 |
|
|
|
4 1 |
|
о -15 -6 -9 |
|
|
|||||||
------ |
о |
о |
~),...., |
(~ |
~ |
|
~ |
J)- |
|
|
|
|||||
|
|
-(~ |
5 |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
-15 -6 -9 |
|
Е о |
-3 -3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
:5 |
:2 |
: 3 |
|
|
|
|
|
(1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
о |
о) |
,...., |
о |
о |
о) |
. |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
о |
1 |
о |
о |
|||
|
|
|
|
|
|
|
о |
о |
о |
|
о |
о |
о |
о |
|
|
Произведение матриц |
|
|
|
'-=.!L.t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
liJ Операция умножения двух матриц вводится только для случая,
когда 'Число столбцов nepвoii. матрицы равно 'Числу строк вmopotJ.
матрицы. |
на матрицу Bnxp = (Ь;k) |
Произведением матрицы Amxn = (aiJ) |
|
называется матрица Cmxp = (cik) такая, что |
|
Cik =ан . ьlk + ai2 • ~k + ... + ainЬnk, |
где i = 1, т, k = 1,р, |
т. е. элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответству ющие элементы k-го столбца матрицы В.
Получение элемента Cik схематично изображается так:
: : J
k
Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения
АВ и БА всегда существуют. Легко показать, что А· Е = Е ·А = А, где
А - квадратная матрица, Е - единичная матрица того же размера.
|
а21 |
а22 |
а2з)2х3 |
|
СЬз"1 ~')ЬЬз222 |
3х2 |
= |
|
|
Пример 1.5. (а11 |
а12 |
а1з |
х |
Ь |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
( а11Ь11 + а12Ь21 + а1зЬз1 |
а11Ь12 + а12Ь22 + а1зЬз2) |
|
|
||||
а21 Ь11 + а22Ь21 + а2зЬз1 |
а21Ь12 + а22Ь22 + а2зЬз2 |
2х2 · |
|
|||||
19