30. Бесконечные десятичные непериодические дроби

Это бесконечные десятичные дроби, не имеющие периода, т.е. не имеющие группы повторяющихся цифр после запятой (пример 41,312509). Рациональное число вида нельзя представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Такие числа представляются в виде иррациональных чисел. Поэтому бесконечные непериодические дроби не входят в множество рациональных чисел.

32. Законы сложения и умножения действительных чисел

Сложение: Для любых двух действительных чисел a и b существует единственное число c, называемое суммой этих чисел. a и b – слагаемые, с – сумма. Свойства операции сложения действительных чисел: Коммутативный закон сложения для любой пары чисел a и b: a+b=b+a; Ассоциативный закон сложения для любой тройки чисел a, b и c: (a+b)+c=a+(b+c); Нейтральный элемент: существует число, обозначаемое 0 и называемое нулем, такое, что для любого числа а: a+0=0+a=a; Для любого числа a существует число, обозначаемое (-a), такое, что a+(-a)=(-a)+a=0, число (-a) называется противоположным числу a. Умножение: На множестве действительных чисел определена операция, называемая умножением. Для любых двух действительных чисел a и b (множителей) существует единственное число с, называемое их произведением. Свойства операции умножения действительных чисел: Коммутативный закон умножения для любой пары чисел a и b: a*b=b*a; Ассоциативный закон умножения для любой тройки чисел a, b и c: (a*b)*c=a*(b*с); Нейтральный элемент: существует число, обозначаемое символом 1 и называемое единицей, такое, что для любого числа а: а*1=1*а=а; Для любого числа а, отличного от 0, существует число, обозначаемое (1/а), такое, что a*=*a=1, и это число называется обратным числу а.

34. Свойства множества действительных чисел

Совокупность основных свойств множества действительных чисел может быть принято за систему аксиом, основополагающую для построения теории действительных чисел. 1. Свойства суммы ∀a,b∈R операция a+b называется суммой и обладает следующими свойствами: 1) Коммутативность сложения (∀a,b∈R a+b=b+a) 2) Ассоциативность сложения

∀a,b,c∈R (a+b)+c=a+(b+c) 3) Свойство нуля ∀a∈R ∃!0∈Ra+0=a 4) Свойство противоположного элемента ∀a∈R∃(−a)∈Ra+(−a)=0. 2. Свойства умножения ∀a,b∈R операция a*b называется произведением, и ей присущи следующие свойства:1) Коммутативность умножения

∀a,b∈R a*b=b*a 2) Ассоциативность умножения ∀a,b,c∈R a*(b*c)=(a*b)*c 3) Свойство единицы

∀a∈R ∃1∈Ra⋅1=a. 4) Свойство обратного числа ∀a∈R a≠0 ∃∈ R = a*=1. Множество R∖{0}R∖{0} относительно операции умножения является коммутативной группой. 3. Дистрибутивность умножения относительно сложения ∀a,b,c∈R (a+b)*c=a*c+b*c. 4. Свойства отношения порядка Для любых действительных чисел a и b: или a≤b, или a≥b. При этом выполняются следующие свойства: 1) Свойство полноты ∀a,b∈R справедливо одно из трёх утверждений: a=b, a>b(b<a), a<b(b>a). 2) Рефлексивность ∀a∈R a≤a 3) Свойство тождества ∀a,b∈R a≤b и a≥b⇒a=b 4) Транзитивность ∀a,b,c∈R a≤b и b≤c⇒a≤ 5) Сохранение неравенства ∀a,b,c∈R a≤b⇒a+c≤b+c. 6) Правило знаков ∀a,b∈Ra≥0 и b≥0⇒a*b≥0. 5. Аксиома Архимеда.

∀a∈R ∃n∈N a≤n 6. Теорема (аксиома) Дедекинда. Пусть заданы два множества A и B - не пустые, не пересекающиеся и в объединении дающие множество действительных чисел: A≠∅,B≠∅,A∩B=∅,A∪B=R. И пусть ∀a∈A ∀b∈B a<b, тогда существует такое действительное число c, для которого выполняется следующее условие: a≤c≤b. О множествах A и B говорят, что они образуют Дедекиндово сечение, а число c это сечение производит. Это число c принадлежит либо множеству A, тогда в множестве A есть наибольшее число, а в множестве B нет наименьшего числа, либо c принадлежит множеству B, тогда в множестве B оно наименьшее, а в множестве A нет наибольшего. Ясно, что число c, осуществляющее Дедекиндово сечение, единственно. Теорема Дедекинда формулирует свойство полноты (или непрерывности) множества действительных чисел.