2. Операции над множествами

По количеству операндов, участвующих в операции, операции делятся на унарные и бинарные.

1. Дополнение. Дополнением множества А, обозначается С(А) или , называется множества элементов универсального множества U, не принадле6жащих множеству А, т.е. = { xU | x  A }.

2. Объединение. Пусть А и В - произвольные множества. Их объединением называется множество С = АВ, которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.

АВ={ xU | x  A или x B }

3. Пересечение. Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов одновременно принадлежащих А и В. Обозначается так: C=AB.

АВ={ xU | x  A и x B }

4. Разность. Разность множеств А и В - это множество С (С=А\В), состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В. Если ВА, то разность С = А\В называется дополнением В до А.

А \ В={ xU | x  A и x B }

5. Симметричная разность. По определению симметричная разность двух множеств А и В - это множество

С = А  В = (А \ В)(В \ А).

Основные свойства операций.

1. Коммутативность:

А  В = В  А; А  В = В  А.

2. Ассоциативность:

(А  В)  С = А  (В  С) = А  В  С;

(А  B)  С = А  (В  С) = А  В  С.

Свойствами коммутативности и ассоциативности обладают многие операции. Чтобы не создалось впечатления, что коммутативность и ассоциативность являются общими свойствами всех операций, приведем пример неассоциативной операции – возведение в степень: (2³)² = 8² = 64; = 2⁸ = 512. Некоммутативной операцией является операция умножения матриц (АВ  ВА).

3. Идемпотентность:

A  A = A; A  A = A.

4. Законы поглощения:

(A  B)  A = A; (A  B)  A = A.

5. Взаимная дистрибутивность:

а) (А  В)  С = (А  С)  (В  С);

б) (А  B)  С = (А  С)  (В  С).

Для вещественных чисел выполняется свойство дистрибутивности операции умножения относительно сложения a(b + с) = = аb + ас. Операции  и  множеств – взаимно дистрибутивны.

6. Свойства нуля:

A   =A; A   = .

7. Свойства единицы:

A  U =U; A  U = A.

8. Инволютивность:

.

9. Законы двойственности (де Моргана):

; .

9. Свойства дополнения:

; .

Докажем равенство 5 а).

Предположим, что x(А  В)  С, тогда xС и xА или xВ. Рассмотрим первый случай xС и xА. Тогда хА  С, а значит, по определению объединения, х(А  С)  (В  С).

Во втором случае, т.е. при xС и xВ получаем, что x (В  С)  (А  С). Таким образом, мы доказали включение

[(А  В)  С]  [(А  С)  (В  С)].

Докажем обратное включение. Пусть х(А  С)  (В  С), тогда хА  С или хВ  С. В первом случае хА и хС. Во втором случае хВ и xС. В обоих случаях получаем, что хС и хА или хВ. Следовательно, х(А  В)  С. Тем самым доказано включение (А  С)  (В  С)  (А  В)  С.

Таким образом, (А  В)  С = (А  С)  (ВС), что и требовалось доказать.

Законы ассоциативности, идемпотентности, взаимной дистрибутивности и двойственности можно обобщить на произвольное количество множеств. Рассмотрим такое обобщение на примере законов де Моргана.

Пусть А₁, А₂, . . . – некоторые множества и пусть все они включены в S (А₁, А₂, . . .  S). Тогда выполняются следующие соотношения.

11. – дополнение объединения множеств равно пересечению их дополнений.

12. – дополнение пересечения множеств равно объединению их дополнений.

Докажем свойство 11. Пусть х U , тогда  х , значит, x не принадлежит ни одному из множеств A_k (k хА_k), следовательно, по определению дополнения, хU \А_k для любого k. Отсюда вытекает, что х .

Обратно, пусть х . Тогда этот элемент принадлежит каждому из множеств U \ A_k (k, хS\ A_k). Следовательно, хA_k для любого k, а, значит, х и поэтому х U ,, что и требовалось доказать.