Лабораторная работа ип7 Вычисление функций разложением в ряд

1. Общие сведения

Итерационными (пошаговыми) алгоритмами называются алгоритмы, в которых на каждом шаге используется одна и та же формула, выраженная через значения, полученные на предыдущих шагах алгоритма. Выполнение такого алгоритма сводится к генерации некоторой числовой последовательности результатов , где k –номер итерации, – значение, полученное на k-м шаге процесса.

Итерационной формулой в общем виде называется выражение

,

позволяющее генерировать последующие члены последовательности через вычисленные ранее (на предыдущих шагах алгоритма). Чаще же всего итерационные формулы имеют более простой вид

.

В любом случае итерационная последовательность должна иметь своим пределом искомое значение

.

Если такой предел существует, то итерационный процесс называется сходящимся, иначе – расходящимся.

Реальный вычислительный процесс всегда должен заканчиваться при конечном значении k, поэтому всегда возникает проблема выбора условия окончания итераций – так называемого критерия сходимости. Наиболее часто на практике используются следующие критерии сходимости:

1. Абсолютное изменение параметра на соседних шагах итерационного процесса

.

2. Относительное изменение параметра на соседних шагах

.

Здесь – некоторое наперед заданное малое значение, определяющее точность (погрешность) нахождения решения.

При решении конкретных задач возможно применение специфических критериев или комбинации нескольких критериев.

Обобщенная блок-схема итерационных алгоритмов изображена на рис. 7.1.

Рис. 7.1. Обобщенная блок-схема итерационного алгоритма

2. Индивидуальное задание

1. Составить m-функцию вычисления функции разложением в ряд (табл. 7.1). В скрипте, вызывающем функцию, предусмотреть контрольный счет с использованием стандартных функций Matlab.

Таблица 7.1

№	Ряд	Функция	Область определения
1	2	3	4
1
2
3

Окончание таблицы 7.1

1	2	3	4
4
5
6
7
8
9
10
11
12

Лабораторная работа ип8 Решение нелинейных уравнений в среде Matlab

1. Общие сведения

Пусть дано нелинейное уравнение вида

, (8.1)

где функция определена и непрерывна на некотором конечном интервале . Всякое значение такое, что , называется корнем уравнения (8.1).

Найти корни уравнения вида (8.1) точно удается лишь в частных случаях. Поэтому разработаны методы численного решения, которые позволяют отыскать приближенные значения корней. При этом необходимо решить две задачи:

1) отделение корней, т.е. отыскание достаточно малых интервалов , в каждом из которых заключен только один корень уравнения;

2) уточнение корней с заданной точностью (погрешностью).

Для отделения корней можно воспользоваться графическим методом – построить график исследуемой нелинейной функции и посмотреть, где он пересекает ось абсцисс. Для решения второй задачи используются итерационные методы вычислительной математики.

Решение системы нелинейных или трансцендентных уравнений с п неизвестными

является в общем случае задачей несравненно более сложной, нежели решение систем линейных алгебраических уравнений. Как и для одного нелинейного уравнения, наибольшую проблему составляет задача отделения корней. Для системы с двумя неизвестными можно использовать геометрические построения. Отделение корней системы с п неизвестными – скорее искусство, чем математика.

В реальных задачах, являющихся этапами моделирования конкретного устройства, начальные приближения задают исходя из физического смысла.