2. Моментная теория осесимметрично нагруженных цилиндрических оболочек

2.1. Общие замечания

Предположим, что круговая цилиндрическая оболочка постоянной толщины находится под нагрузкой , продольная компонента которой отсутствует. Оси координат расположены, как на Рис.2.1.

В оболочке возникает осесимметричное напряженное состояние, которое будет характеризоваться следующими силовыми факторами (Рис.2.2)

(2.1)

(2.2)

Вследствие осевой симметрии кососимметричные факторы

(2.3)

а величины (2.1), (2.2) не зависят от координаты , а только от .

Для цилиндрической оболочки имеем

(2.4)

2.2 Уравнения равновесия

Выделим элемент срединной поверхности оболочки и рассмотрим его равновесие (Рис.2.3, 2.4).

Три уравнения равновесия

удовлетворяются тождественно, а остальные три уравнения дают:

(2.5)

Здесь после сокращения на не учитывались бесконечно малые высших порядков, а сила вошла во второе уравнение из-за кривизны параллели.

Здесь из первого уравнения после его интегрирования следует

, (2.6)

где в большинстве случаев нагрузка на левом торце оболочки известна, и задача по определению усилий статически определима.

Тем не менее, в оставшихся двух уравнениях содержатся три неизвестных статических величины, и задача в целом - статически неопределима.

Стало быть, необходимо обратиться к рассмотрению геометрической стороны.

2.3 Геометрические соотношения

Продольные перемещения точки, находящейся на расстоянии от срединной поверхности, будут

(2.7)

где - угол поворота нормали, согласно гипотезе, аналогичной гипотезе Кирхгоффа в теории прямоугольных пластин.

Продольная деформация с учетом (2.7) принимает вид

, (2.8)

где - удлинение срединной поверхности, а - изменение кривизны меридиана в продольном направлении. Деформация волокна, расположенного в окружном направлении на расстоянии от срединной поверхности,

Здесь учтено, что . Если учесть также, что толщина пластины мала по сравнению с радиусом ( ), то

(2.9)

Теперь рассмотрим физическую сторону задачи.

2.4 Физические зависимости

Зависимости обобщенного закона Гука примем в виде (1.8).

Обратные соотношения имеют вид

(2.10)

Предполагается, что температура меняется по толщине оболочки, но является осесимметричной функцией .

Подставляя в формулы для напряжений выражения для деформаций, получаем

(2.11)

Внося эти зависимости в выражения для усилий (2.1), (2.2), получаем

Здесь обозначены цилиндрическая жесткость

и температурные параметры