4. Определение потока касательных сил

По сравнению с только что решенной проблемой нахождения нормальных напряжений задача отыскания ПКС выглядит намного сложнее, в особенности для многозамкнутых оболочек. Изучим ее в порядке нарастающей трудности: от открытой оболочки через однозамкнутую к произвольной многозамкнутой оболочке.

Ограничимся рассмотрением наиболее часто встречаемого случая нагружения, когда внешние силы таковы, что .

Открытая оболочка

Рассмотрим сначала открытую оболочку с кусочно–гладким, но неразветвленным контуром поперечного сечения, с началом и концом отсчета его дуги и (см. рис. 5, а).

Будем находить ПКС из уравнения равновесия бесконечно малого вдоль образующих фрагмента оболочки, показанного на рис. 5, б, в отношении проекций на ось всех действующих на него сил. Нетрудно видеть, что это уравнение имеет вид

(9)

З десь интеграл берется по части контура , содержащейся в отсеченной части (для неразветвленного контура — от до ).

Замечая теперь, что [ , , ]

приходим к окончательным выражениям

	(10)
	(11)

В последних из них введены центральные статические моменты отсеченной части поперечного сечения

(12)

Поскольку , то, как и должно быть,

.

(13)

Следовательно, для одной и той же точки контура путь интегрирования в выражениях (12) может быть заменен на ответную часть контура .

Формулы (10)–(12) справедливы и для открытых оболочек с разветвленным контуром поперечного сечения, при этом условия типа (13) имеют место на всех его концах, т. е.

Произвольный разветвленный контур образуется из элементарных ветвей (неразветвленных участков контура) двух видов. Ветви одного вида связывают свободный конец контура с ближайшей точкой его ветвления, а ветви другого — смежные точки ветвления. Для точек ветвей первого вида, если — неразветвленный путь, то — разветвленный. Для точек ветвей второго вида и , и содержат точки ветвления, но, вообще говоря, в разном количестве.

Получим для сечения с разветвленным контуром два результата, важных с точки зрения рационального применения формул (10) – (12).

Вспоминая, что ПКС изменяется по контуру поперечного сечения в соответствии с законом изменения центральных статических моментов его отсеченной части (см. (11), (12)), приходим к двум достаточно очевидным и весьма полезным выводам.

1. При переходе вдоль неразветвленного участка контура поперечного сечения через й стрингер ПКС претерпевает скачок , обусловленный вкладом в него этого стрингера, а именно

2 . В обшивке, не работающей на нормальные напряжения, поток касательных сил является кусочно–постоянной функцией дуговой координаты контура поперечного сечения.

Предположим, что в контуре имеется точка ветвления, в которой сходятся ветвей. Выделим в ее окрестности отсеченную часть поперечного сечения путем фиксирования дуг ветвей ( ), исходящих из точки ветвления (см. рис. 6), и воспроизведем для нее рассуждения, приведшие к равенству (9). Переходя в полученном в итоге равенстве к пределу при ( ; при этом ), найдем, что

(14)

Отсюда вытекают два правила.

Правило 1. В точке ветвления контура поперечного сечения алгебраическая сумма потоков касательных сил со стороны исходящих из нее ветвей и вклада в поток расположенного в ней го стрингера равна нулю.

Правило 2. При вычислении в открытых оболочках потоков касательных сил новую (следующую) точку ветвления целесообразно включать в отсеченную часть только тогда, когда уже найдены потоки со стороны всех сходящихся в этой точке ветвей, кроме одной.

Обсудим теперь формулы (10) – (12) с принципиальной точки зрения.

Отметим, прежде всего, что выражения (11) весьма схожи с известной из курса сопротивления материалов формулой Журавского. Согласно этим выражениям для вычисления ПКС нужно знать центральные статические моменты (12) отсеченной части поперечного сечения (ими определяется закон изменения потока по контуру сечения) и перерезывающие силы , . Следовательно, ПКС (10) в открытой оболочке обусловлен только ее изгибом, но никак не кручением.

Посмотрим, в каком смысле ПКС открытой оболочки статически эквивалентен обобщенным силам , и . По определению (см. (10)-(11))

То, что эти условия статической эквивалентности являются тождествами, убеждают формулы

легко устанавливаемые путем интегрирования по частям.

Пусть — длина перпендикуляра, опущенного из начала координат осей ; (см. рис. 4). Тогда условие статической эквивалентности ПКС и крутящего момента выражается равенством

(15)

которое после подстановки в него формул (10), (11) и введения обозначений

принимает вид

(16)

и говорит о том, что равнодействующий момент ПКС относительно точки оси , принадлежащей поперечному сечению, всегда равен сумме моментов относительно этой же точки перерезывающих сил , проходящих через точку с координатами . В частности, если на оболочку действуют только крутящие нагрузки, при которых , то .

Отсюда напрашиваются два вывода:

1. В рамках балочной теории открытая оболочка не сопротивляется кручению.

2. В рамках балочной теории допустимы такие внешние воздействия на открытую оболочку, при которых перерезывающие силы проходят через точку с координатами .

Внешний вид условия статической эквивалентности (16), конечно, не изменится, если за моментную точку, условимся в дальнейшем называть ее полюсом, принять любую другую точку плоскости поперечного сечения. Уточнить нужно лишь смысл величин и : всегда — длина перпендикуляра, опущенного из полюса на касательную к контуру поперечного сечения, а — удаленность от полюса вдоль оси точки приложения перерезывающих сил.

Однозамкнутая оболочка

Рассмотрим теперь оболочку с однозамкнутым контуром поперечного сечения. Поток касательных сил в ней всегда можно представить в виде суммы

(17)

постоянного по контуру потока , равного значению в начале отсчета дуги , т. е.

и потока в открытой оболочке, получаемой из исходной после введения искусственного продольного математического разреза по линии (см. рис. 7; совпадающие, по определению, края математического разреза условно разнесены). Выбор начала отсчета дуги лимитируется только соображениями удобства вычислений.

Как найти поток касательных сил в открытой оболочке, мы уже знаем (см. (10)–(11)). Так что поток можно считать известным. Подставляя выражение (17) в условие статической эквивалентности (15), находим формулу

(18)

позволяющую вычислить поток по известным потоку и крутящему моменту . В этой формуле для удвоенной площади, заключенной внутри контура поперечного сечения, введено обозначение

(19)

В частности, при чистом кручении , и формула (18) переходит в известную формулу Бретта

(20)

Многозамкнутая оболочка

По аналогии с однозамкнутой оболочкой превратим замкнутую оболочку в открытую путем искусственного введения продольных математических разрезов: по одному в пределах каждого контура ( ). Места расположения этих разрезов принципиальной роли не играют, но могут существенным образом сказываться на рациональности вычислений.

Тогда поток касательных сил в оболочке представим в виде

(21)

где поток в открытой оболочке находится по формулам (10) – (12),

(22)

а — искомый поток в контуре , одинаковый во всех его точках. Разложение (21) наглядно иллюстрируется на рис. 7, где произвольная замкнутая оболочка представлена условно трехзамкнутой оболочкой кессонного типа, а потоки касательных сил, включая их направленность, показаны, также условно, на примере одного текущего -го контура.

Результатом подстановки выражения (21) в формулу (15) является уравнение

(23)

в котором — удвоенная площадь, заключенная внутри контура :

(24)

Р авенства (23) явно недостаточно для нахождения искомых , при этом все средства статики нами исчерпаны.

Ситуации такого рода типичны для расчетов статически неопределимых систем методом сил, когда недостающие для нахождения лишних неизвестных соотношения — канонические уравнения метода сил — устанавливаются с помощью принципа Кастильяно, а точнее его следствия, известного под названием теоремы Кастильяно.

Рассматриваемая задача отыскания потоков статически неопределима раз. Пусть — погонный угол закручивания оболочки — угол взаимного поворота поперечных сечений оболочки, расстояние между которыми вдоль оси равно 1, а — обусловленная ПКС погонная потенциальная энергия оболочки — потенциальная энергия, аккумулируемая в части оболочки, расположенной между упомянутыми сечениями. Замечая теперь, что

где — модуль сдвига материала оболочки, после перехода к ПКС находим

Здесь введена еще одна редукционная функция по материалу , а за модуль удобнее всего принять модуль сдвига наиболее распространенного в сечении материала. Сопоставим каждому контуру бреттовский момент . Ему отвечает обобщенное смещение в виде погонного угла закручивания этого контура как жесткого целого, который согласно гипотезе о неизменяемости контура поперечного сечения оболочки совпадает погонным углом закручивания всего сечения.

На основании теоремы Кастильяно

Раскрывая эти уравнения с помощью представления (21), получаем искомую систему линейных алгебраических уравнений

(25)

которая совместно с уравнением (23) служит для отыскания потоков и погонного угла закручивания поперечного сечения оболочки.

В системе (25) введены такие обозначения:

(26)

В частности, при (однозамкнутая оболочка) система (25) вырождается в одно уравнение ( , , , , )

(27)

где

(28)

которым можно воспользоваться для определения погонного угла закручивания сечения однозамкнутой оболочки.

В заключение отметим, что многозамкнутую оболочку при определении потока касательных сил можно было бы сводить к однозамкнутой, для которой, как было показано, изучаемая проблема решается только средствами статики. При этом бы пришлось ввести не , как было выше, а продольный разрез — ровно столько, сколько не хватает уравнений для нахождения потоков . Но тогда бы система (25) утратила ту симметрию, которой она обладает в отношении всех контуров (потоков ), не говоря уже о естественном, пусть даже не принципиальном, вопросе: какой из контуров наделить привилегией остаться целым. Отдав предпочтение сведению многозамкнутой оболочки к открытой, мы увеличили число искомых на 1 (на погонный угол закручивания ). Однако, если одно из уравнений (25) потратить на исключение этой переменной, то дополнительных условий для нахождения потоков остается как раз столько, сколько требуется, а именно .