2. Основные гипотезы
Рассмотрим длинную замкнутую ( ), вообще говоря, подкрепленную цилиндрическую оболочку. Отнесем ее к декартовой системе отсчета , ось которой параллельна образующим оболочки, а оси , принадлежат плоскости ее дальнего ( ) торцевого поперечного сечения (см. рис. 2, где замкнутая и, вообще говоря, подкрепленная оболочка представлена условно гладкой трехзамкнутой оболочкой).
Тело оболочки ограничено, с одной стороны, внешней и внутренними цилиндрическими поверхностями, а с другой стороны, — торцевыми поперечными сечениями ( ) и ( ). Площадь произвольного поперечного сечения — связная плоская область, заключенная между линиями пересечения цилиндрических поверхностей с плоскостью сечения. Для задания геометрии оболочки необходимо задать уравнения этих кривых, совпадающих с уравнениями соответствующих цилиндрических поверхностей.
Декартовая система отсчета удобна при описании деформирования оболочки как балки (стержня). В тех случаях, когда необходимо рассмотрение формы оболочки или ее поперечного сечения, более предпочтительной оказывается так называемая нормальная система отсчета. Она отличается от декартовой тем, что в ней вместо координат , используются нормальная координата , отсчитываемая в направлении единичной внешней нормали к срединной поверхности оболочки, и естественный параметр контура ее поперечного сечения (см. рис.3; образуют правую систему отсчета).
Нетрудно понять, что если параметрические уравнения контура поперечного сечения (срединной поверхности) имеют вид
,
то декартовы координаты произвольной точки тела оболочки выражаются через нормальные , формулами
.
Здесь ,
,
где , и — отличные от нуля ( ) направляющие косинусы нормали и единичной касательной контура поперечного сечения (см. рис. 3). Кроме того, начиная отсюда, мы договариваемся производные функции одного аргумента помечать вверху справа от символа функции нужным количеством штрихов.
У читывая, что толщина оболочки мала по сравнению с другими ее габаритными размерами, примем следующее упрощающее предположение:
геометрия оболочки, ее смещения, деформации, напряжения и объемные внешние силы не меняются по толщине оболочки.
Это означает, что геометрия и напряженно–деформированное состояние оболочки всецело определяется геометрией и напряженно–деформиро-ванным состоянием ее срединной поверхности. В частности, геометрию оболочки можно считать заданной, если известны ее толщина и уравнение контура ее поперечного сечения
Возможный отказ от принятого упрощающего предположения привел бы к неоправданному для тонких оболочек усложнению вычислений без ощутимого влияния на точность результатов.
В строгой постановке решение задачи о напряженно–деформированном состоянии длинной оболочки обречено на неуспех из–за неустранимой в рамках теории упругости неустойчивости вычислений, порождаемой малыми геометрическими параметрами. Справиться с нею удается лишь путем введения в теорию упругости дополнительных предположений, в той или иной мере ограничивающих деформирование оболочки в направлении этих параметров.
Будем предполагать, что стрингеры работают только на растяжение–сжатие, причем их упругие линии, принадлежащие срединной поверхности оболочки, деформируются так, как это предписывает обсуждаемая ниже ее (оболочки) модель. В таком случае стрингеры в поперечном сечении оболочки можно рассматривать как дополнительные сосредоточенные площади на контуре поперечного сечения, которые участвуют наряду с оболочкой в восприятии нормальных напряжений.
В дальнейшем нам не раз придется интегрировать по площади поперечного сечения стрингерной оболочки, представляющей собой кусочно-непрерывную функцию длины дуги контура поперечного сечения. С этой целью удобно воспользоваться интегралом Стилтьеса. Поясним его смысл.
Пусть — функция дуги контура поперечного сечения и пусть
— кусочно непрерывная функция площади поперечного сечения, где — площадь поперечного сечения стрингера , — функция Хевисайда, определяемая равенством
— дельта-функция Дирака, обладающая, напомним, свойствами ( )
,
а суммирование осуществляется по тем скачкам, которые попали в область интегрирования (на это указывает тильда над знаком суммы).
Очевидно, что дифференциал равен
Тогда интеграл Стилтьеса определяется так
Малость размеров поперечных сечений оболочки по сравнению с ее длиной позволяет ввести следующие привычные для классической теории стержней (балок) гипотезы:
Гипотеза 1. Поперечные сечения оболочки в своей плоскости недеформируемы.
Гипотеза 2. В осевом направлении (по оси ) оболочка деформируется по закону плоскости.
Гипотеза 3. В поперечном сечении оболочки возникают только нормальные и касательные напряжения, не меняющиеся, как отмечалось, по толщине оболочки, причем последнее напряжение направлено всегда по касательной к контуру поперечного сечения.
Другие напряжения в виду их малости не учитываются.
В силу гипотезы 2, если — осевая деформация, то
и согласно закону Гука для нормального напряжения имеет место формула
|
(1) |
Здесь , , — искомые величины,
где — так называемая редукционная функция по материалу, а — модуль Юнга какого-то материала, за который удобно принимать наиболее распространенный в сечении материал.
Вместо касательного напряжения будем использовать поток касательных сил (ПКС) , связанный с эти напряжением зависимостью