4. Расчет статически неопределимых стержневых систем

Характерная особенность статически определимых систем заключалась в том, что внутренние силовые факторы в их элементах определялись только уравнениями равновесия и потому они зависели лишь от геометрии системы и параметров внешних силовых воздействий. Этим мы хотим подчеркнуть независимость внутренних сил в элементах статически определимой стержневой системы от ее упругих свойств (жесткостей ее элементов).

Однако большинство стержневых систем, моделирующих реальные стержневые конструкции, относятся к классу статически неопределимых систем. Внутренние силовые факторы в их элементах не определяются одной статикой и зависят от упругих свойств и нагрева элементов систем. Методы расчета таких систем основаны на сведении их к хорошо изученным более простым (например, статически определимым) системам.

В зависимости от выбора основных неизвестных — характеристик напряженно-деформированного состояния стержневой системы, к определению которых сводится ее статический расчет, — различают метод сил, метод перемещений и смешанный метод. В первом из них роль основных неизвестных играют внутренние силовые факторы в тех или иных элементах системы, а во втором — обобщенные перемещения тех или иных точек или сечений элементов системы. В смешанном же методе в состав основных неизвестных включаются и внутренние силовые факторы и перемещения. Здесь мы ограничимся изучением метода сил.

4.1. Метод сил

Пусть термоупругая стержневая система раз статически неопределима. Если бы для отыскания внутренних силовых факторов в элементах такой системы мы воспользовались бы уравнениями равновесия, то из них оказались бы неопределенными, а остальные выразились бы через них вполне конкретными соотношениями. Другими словами, если в исходной системе убрать связей, то оставшаяся система будет статически определимой. Эти обстоятельства и послужили отправным пунктом при создании метода сил.

Сущность его заключается в следующем.

Разрежем мысленно связей системы таких, чтобы оставшаяся система, ее принято называть основной системой метода сил, была бы геометрически неизменяемой.

Вскрытые, но пока неизвестные внутренние силы в разрезанных связях, условимся обозначать их символами , являются для основной системы силами внешними. Это хорошо видно из рис. 4.1, где на примере плоской фермы (рис. 4.1 а) показан один из вариантов ее основной системы метода сил (рис. 4.1 6).

Итак, основная система метода сил статически определима по определению. По этой причине разрезанные связи исходной системы называют лишними (без них она была бы статически определимой), а внутренние силы в них — лишними неизвестными. В зависимости от вида стержневой системы роль лишних неизвестных могут играть усилия в ферменных стержнях, включая опорные стержни (когда система внешне статически неопределима), осевые и (или) перерезывающие силы и изгибающие моменты в разрезанных сечениях рамно-балочных элементов, а также ПКС в тонких стенках.

Внутренние силы в элементах основной системы находятся с помощью уравнений равновесия (как для статически определимой системы). В силу принципа суперпозиции они представимы в виде

(4.1)

З десь символами и обозначены внутренние силы в элементах основной системы, вызванные соответственно заданными внешними силами и только силой ( ).

Формулы (4.1) будт справедливы, очевидно, и для исходной системы, если иметь в виду, что в лишних связях соответствующие внутренние силы равны непосредственно лишним неизвестным. Например, если ая лишняя связь является ферменным стержнем, соединяющим узлы , , то усилие в этой связи : , и при . И если в основной системе величины ( ) могут быть, вообще говоря, какими угодно, то в исходной они должны быть вполне определенными. Это объясняется тем, что в основной системе допускаются взаимные (обобщенные) смещения ( ) сечений в разрезах лишних связей, в то время как в исходной системе они отсутствуют.

Следовательно, чтобы основная система стала эквивалентной исходной системе, достаточно ликвидировать в ней разрезы путем запрета в них взаимных смещений сечений. Аналитически это можно выразить следующим образом ( ). Раскроем эти равенства, вновь для простоты ограничиваясь рассмотрением стержневых систем с плоско изгибаемыми рамно-балочными элементами.

С этой целью подсчитаем дополнительную потенциальную энергию основной системы, формально не отличающуюся от такой же энергии исходной системы. Для этого в общее для выражение (3.12) внесем формулы (4.1). Нетрудно видеть, что

Вспоминая, далее, теорему Кастильяно, можем записать

(4.2)

Несложные преобразования с учетом сказанного выше и выражений (3.12), (4.1) приводят к так называемой системе канонических уравнений метода сил

(4.3)

служащей для нахождения лишних неизвестных ( ).

В (4.3) введены обозначения

(4.4)

где по смыслу и — взаимные обобщенные смещения в основной системе сечений в разрезе ой лишней связи, вызванные соответственно силой и всеми заданными внешними силовыми и температурными воздействиями.

Подчеркнем, что в (4.4) суммирование распространяется на все упругие элементы исходной системы, включая и лишние связи.

В зависимости от вида стержневой системы, формулы (4.4) допускают различные упрощения. Так в случае ферм

(4.4а)

для рамно-балочных систем

(4.4б)

и, наконец, для тонкостенных стержневых систем

(4.4в)

После нахождения лишних неизвестных ( ) из системы (4.3) внутренние силы вычисляются окончательно по формулам (4.1).

Общая схема реализации метода сил выглядит так:

1. Выбор основной системы — фиксация лишних связей и лишних неизвестных.

2. Определение внутренних сил в элементах основной системы от всех внешних силовых воздействий (нахождение величин ) и от каждого единичного лишнего неизвестного (нахождение величин ).

3. Вычисление коэффициентов канонических уравнений по формулам (4.4).

4. Определение лишних неизвестных — решение системы (4.3) канонических уравнений метода сил.

5. Вычисление искомых внутренних сил в элементах стержневой системы по формулам (4.1).

При выборе основной системы не следует забывать о том, что возможная симметрия исходной системы (геометрическая и физическая) и внешних воздействий на нее позволяет сократить число лишних неизвестных.