3.5. Определение перемещений в термоупругих стержневых системах

Как уже отмечалось, при расчете термоупругих стержневых систем практический интерес представляют перемещения отдельных точек. Их удобно находить с помощью теоремы Кастильяно. Для этого необходимо знать выражение дополнительной потенциальной энергии системы, при выводе которого мы ограничимся случаем наложения на нее (систему) лишь идеальных внешних связей.

3.5.1. Дополнительная потенциальная энергия термоупругой стержневой системы. Дополнительная потенциальная энергия термоупругой стержневой системы слагается из таких же энергий ее упругих элементов:

(3.6)

Здесь ради простоты начертания последующих формул мы отказываемся от введения индексов суммирования, полагая, что первая сумма всегда распространяется на все упругие стержни, а вторая — на все тонкие стенки; — дополнительная потенциальная энергия стержня (вообще говоря, криволинейного), a — подобная же энергия тонкой стенки.

Сразу же заметим, что на тонкие стенки, работающие только на сдвиг, нагрев в рамках гипотезы Дюгамеля-Неймана не оказывает никакого влияния. Поэтому , где — потенциальная энергия стенки. В силу однородности напряженно-деформированного ее состояния . Здесь — объем, занятый стенкой, a — плотность ее потенциальной энергии. Пусть — толщина стенки, a — площадь стенки в плане. Тогда . Для принятой модели деформирования тонкой стенки

где — модуль сдвига материала стенки. Следовательно,

(3.7)

В рамках гипотезы плоских сечений стержень (рама) работает, вообще говоря, на растяжение-сжатие, изгиб в двух плоскостях и кручение. Ограничимся для простоты рассмотрением стержневых систем, плоские, по предположению, рамно-балочные элементы которых изгибаются только в своей плоскости. Отнесем стержень (раму) к ортогональной системе координат , , ( — координата вдоль оси стержня, и — главные центральные оси его поперечного сечения), и будем считать, что стержень располагается и изгибается в плоскости . При этом в нем возникает только одно упругое напряжение — нормальное напряжение , обусловленное растяжением-сжатием и изгибом стержня. Поэтому

где — дополнительная потенциальная энергия растяжения-сжатия и изгиба стержня, а — плотности этой же энергии; — объем, занятый стержнем, .— элемент этого объема.

По определению

Здесь .— плотность потенциальной энергии стержня, равная

где — модуль Юнга материала стержня, a — его полная продольная деформация удлинения, выражаемая формулой

в которой — упругая продольная деформация стержня, — коэффициент линейного расширения, a — температура, на которую нагрет стержень. Из трех последних формул находим

Следовательно,

(З.8)

В этом выражении введено фиктивное температурное напряжение

(3.9)

Обозначим, далее, символами и соответственно осевое усилие, изгибающий момент в текущем поперечном сечении стержня. Из курса сопротивления материалов известна зависимость

(3.10)

в которой введены геометрические характеристики поперечного сечения: площадь и момент инерции .

Подставим (3.10) в (3.8). Выделяя интегрирование по площади поперечного сечения ( ), после несложных преобразований получим

(3.11)

Здесь .— длина стержня (рамы), учтены свойство главных центральных осей

и очевидные обозначения

а, кроме того, введены фиктивные температурные силовые факторы

имеющие соответственно размерность усилия и моментов.

Искомое общее выражение дополнительной потенциальной энергии произвольной термоупругой стержневой системы вытекает теперь из формул (3.6), (3.7), (3.11):

(3.12)

Отметим некоторые частные результаты, обусловлены типом рассматриваемой стержневой системы.

Так в случае любых ферм

(3.13)

При неизменных по длине стержня всех

(3.13а)

Для рамно-балочных систем обычно пренебрегают работой ее элементов на растяжение-сжатие, считая, что

(3.14)

Наконец, для тонкостенных стержневых систем

(3.15)

или же

(3.15а)

если все равномерно распределены вдоль осей соответствующих стержней.

В заключение еще раз подчеркнем, что в формулах (3.11)–(3.15а) выражения, стоящие под знаком сумм, расписываются для каждого соответствующего элемента стержневой системы с учетом его геометрической, физической и силовой индивидуальности.

3.5.2. Определение перемещений. Предположим, что в термоупругой стержневой системе нас интересует обобщенное перемещение некоторой фиксированной ее точки (или нескольких точек). В той же точке (или точках) ему всегда можно сопоставить соответствующую обобщенную силу , такую, что произведение всегда имеет размерность работы.

Смысл , а, следовательно, и , может быть самый разнообразный. Под можно понимать обычное перемещение какой-то точки в фиксированном направлении. Для такого перемещения роль обобщенной силы играет обычная сила, приложенная в той же точке и в том же направлении. Если — угол поворота какого-то сечения рамно-балочного элемента, то — момент, приложенный в том же направлении и в том же сечении в плоскости разыскиваемого его поворота. Под можно понимать взаимное смещение двух точек, например, вдоль соединяющей их линии или же взаимный поворот в какой-либо плоскости двух каких-то сечений одного и того же или различных рамно-балочных элементов стержневой системы. Им отвечают соответственно обобщенные силы в виде двух соосных противоположно направленных обычных сил в тех же точках или двух противоположно направленных моментов в тех же сечениях в плоскости разыскиваемого их взаимного поворота. Подобные примеры можно продолжить.

Пусть заданные внешние силы и обобщенная сила , выбираемая и прикладываемая к стержневой системе в соответствии с искомым обобщенным перемещением , вызывают в элементах стержневой системы обобщенные внутренние силы , , , которые в силу принципа суперпозиции представимы в виде

(З.16)

Здесь обобщенные внутренние силы , , обусловлены действием лишь заданных внешних сил, а , , — силой . Согласно (3.12) внутренним силам (3.16) и заданному нагреву отвечает дополнительная потенциальная энергия

(3.17)

По теореме Кастильяно

После несложных преобразований с учетом (3.16), (3.17) приходим к общей формуле

(3.18)

В случае ферм

(3.19)

или

(3.19а)

если все постоянны вдоль осей соответствующих стержней.

Для рамно-балочных систем

(3.20)

Наконец, в случае тонкостенных стержневых систем

(3.21)

или же

(3.21а)

при не меняющихся вдоль осей стержней всех величин .

Заметим, что если оказывается положительным, то его направление совпадает с направлением приложенной обобщенной силы . Отрицательное значение свидетельствует о том, что оно осуществляется противоположно силе . Может случиться так, что для искомого перемещения можно найти соответствующую обобщенную силу среди фактически действующих заданных внешних сил. Тогда теорема Кастильяно дает

где — фактическая дополнительная потенциальная энергия термоупругой стержневой системы. Раскрывая правую часть, мы вновь придем к полученной выше формуле (3.22).