3.3. Об определении внутренних сил в рамно-балочных системах

Вопрос об определении внутренних сил (осевых и перерезывающих сил, изгибающих и крутящих моментов) в статически определимых балках и рамах подробно изучался в курсе сопротивления материалов. Все предложенные там методы основаны на рассмотрении равновесия отсеченной части балки или рамы и практически без изменения переносятся на рамно-балочные статически определимые системы после расчленения их на балочные и рамные элементы.

Здесь мы остановимся лишь на изложении процедуры вычисления внутренних сил в круговой раме при действии на нее сосредоточенных сил и моментов, а также переменных по величине и (или) направлению распределенных нагрузок. Освоение этого материала вызывает у студентов наибольшие трудности.

В се принципиальные моменты вывода формул для внутренних сил в рамах вполне прослеживается на примере плоской полукруглой рамы, заделанной на одном конце.

Рассмотрим сначала случай действия на такую раму сосредоточенных воздействий — силы, направленной под некоторым углом к горизонтальной оси, и момента (рис. З.6 а).

Непосредственно из рис. 3.6 6 видим, что осевая сила , перерезывающая сила и изгибающий момент в произвольном сечении рамы, фиксируемом углом , выражаются формулами

при

при

(3.4)

В частности при действии силы по касательной ( ) или по нормали ( ) к оси рамы из последних формул выводим

при - сила P приложена по касательной к окружности,

при - сила P приложена по нормали к окружности,

Пусть теперь на раму действует переменная по величине и направлению распределенная (погонная) нагрузка. Значение ее зададим функцией , а направление — функцией , определяющей в текущем сечении рамы значение угла между направлением действия распределенной нагрузки и горизонтальной осью (см. рис. 3.7 а).

Искомые формулы для , , и получаются здесь путем интегрирования по всей оси отсеченной части рамы их дифференциалов. Последние легко выражаются через элементарную внешнюю нагрузку, трактуемую как сосредоточенная сила.

Обращаясь к рис. 3.7 6 и ссылаясь на предыдущие результаты (3.4), находим

(3.5)

Из этих общих выражений вытекают известные частные результаты.

Так если неравномерно распределенная внешняя нагрузка действует по нормали к упругой оси рамы (рис. 3.7 в), то, как нетрудно понять, и в силу этого формулы (3.5) принимают вид

(3.5а)

Отсюда для равномерно распределенной нормальной нагрузки имеем

(3.5б)

Пусть теперь на раму действует неравномерно распределенная нагрузка по касательной к ее упругой оси (рис. 3.7 г). Тогда , так что из (3.5) находим

(3.5в)

В частности при

(3.5г)

А налогичным образом из формул (3.5) выводятся и другие частные результаты.

3.4. Определение внутренних сил в тонкостенных стержневых системах

О братимся сначала к изучению самой простой плоской тонкостенной стержневой системы, показанной на рис. 3.8 а. Определяя усилия в опорных стержнях, приходим к свободной системе, изображенной на рис. 3.8 6. Искомыми внутренними силами в ней являются постоянный поток касательных сил , усилия , в горизонтальных стержнях 1-2, 3-4, которые часто называют поясами, и усилия , в вертикальных стержнях 1-4, 2-3, именуемых стойками. Заметим, что все эти усилия, вообще говоря, переменны по длине соответствующего стержня.

Однородность структуры системы вдоль осей и подсказывает следующий шаг — рассмотреть равновесие фрагментов, отсекаемых от системы плоскостями, нормальными к этим осям (см. рис. 3.8 в, г).

Записывая уравнения равновесия фрагмента, изображенного на рис. 3.8 в, находим

Аналогично для фрагмента, показанного на рис. 3.8 г, имеем

Как и следовало ожидать, первые уравнения равновесия обоих фрагментов приводят к одному и тому же результату.

Отметим, что после определения ПКС усилие в любом стержне можно найти другим способом — из равновесия его фрагмента. Например, для стойки 2-3 это хорошо видно из рис. 3.8 д.

Для наглядности на рис. 3.8 е показаны эпюры усилий в стержнях системы.

Интересно заметить, что внутренние силы в сечениях изучаемой системы, параллельных координатным осям, сводятся к силе и моменту. Так, например, в вертикальных сечениях системы (рис. 3.8 в) имеем силу и момент , порождаемый парой равных по величине, но противоположных по направлению усилий , . Этот факт позволяет дать неожиданную и полезную интерпретацию изучаемой тонкостенной стержневой системы. А именно, отвлекаясь от соотношения размеров и (здесь оно не имеет никакого значения), будем схематизировать эту систему как консольно заделанную по левому вертикальному сечению балку, загруженную силой на свободном конце. Эта схема вместе с эпюрами изгибающего момента и перерезывающей силы показана на рис. 3.9.

О тсюда заключаем, что изгибающий момент порождается в тонкостенной стержневой системе парой усилий в поясах, а перерезывающая сила — ПКС в тонкой стенке, причем, как нетрудно видеть,

Таким образом, изучаемая тонкостенная стержневая система представляет модель балки, в которой изгибающий момент и перерезывающая сила возникают в различных взаимодействующих между собой упругих элементах. В силу этой интерпретации подобные тонкостенные стержневые системы часто называют тонкостенными балками.

На рис. З.10 а показана более сложная тонкостенная стержневая система. Внутренние силы в ее элементах можно определить следующим образом. Сначала находятся усилия , , в опорных стержнях, после чего образуется соответствующая свободная система (рис. 3.10 6). Усилия в поясах и ПКС на каждом м участке (между стойками и ) определяются из уравнений равновесия фрагмента системы, отсекаемого соответствующим вертикальным сечением (см. рис. З.10 в; , — усилия на ом участке соответственно верхнего и нижнего пояса; — ПКС на ом участке). Усилия в стойках легко находятся из уравнений равновесия их фрагментов (см., например, рис. 3.10 г; — усилие в ой стойке).

В части определения усилий в поясах и ПКС можно указать другой более предпочтительный путь: прибегнуть к интерпретации системы тонкостенной балкой, построить для последней эпюры изгибающего момента и перерезывающей силы и воспользоваться последними формулами.