3.2. Определение внутренних усилий в стержнях ферм

3.2.1. Классификация методов определения внутренних усилий в стержнях ферм. Все известные методы определения внутренних усилий в стержнях статически определимой фермы явным или неявным образом сводятся к рассмотрению равновесия изолированных с помощью метода сечений тех или иных ее фрагментов. Условно эти методы можно разделить на три группы.

К первой группе отнесем аналитические методы, среди которых наибольшее распространение подучили метод вырезания узлов и метод замены связей. Подробно на этих методах мы остановимся позже.

Во вторую группу объединим графоаналитические методы, из которых выделим метод двух или нескольких сечений и метод моментных точек (преимущественно для плоских ферм) и осей (для пространственных ферм). Сущность этих методов подсказывает само их название.

Так метод двух или нескольких сечений предполагает параллельное рассмотрение равновесия двух или нескольких различных изолированных фрагментов фермы. Эти фрагменты выбираются так, чтобы сечения, с помощью которых они выделяются из фермы, проходили по возможности через большее число одних и тех же ферменных стержней. Совместное решение уравнений равновесия фрагментов позволяет либо явно найти часть усилий в упомянутых стержнях, либо же сократить число неизвестных путем выражения усилий в одних рассеченных стержнях через усилия в других.

В тех случаях, когда плоская ферма содержит фрагмент, связанный с остальной ее частью стержнями, из которых все, кроме одного (обособленного в этом смысле) сходятся в одной точке, целесообразно применять метод моментных точек. Действительно, составляя моментное уравнение равновесия такого фрагмента относительно точки схождения стержней (моментной точки), мы сможем сразу найти усилие в обособленном стержне. При большем числе обособленных стержней у одного и того же фрагмента метод моментных точек позволяет сократить число неизвестных. Метод моментных осей является для пространственных ферм аналогом метода моментных точек.

Наконец к третьей группе относятся графические методы, основанные на построении диаграммы Крэмоны-Максвелла и ее разновидностей. В настоящее время эти методы утратили практическое значение и поэтому мы на них не останавливаемся.

3.2.2. Метод вырезания узлов. Любая ферма — это образование из ферменных узлов и стержней. Простейшим стандартным ее фрагментом является узел со сходящимися в нем стержнями. Метод вырезания узлов как раз и состоит в рассмотрении равновесия изолированных узлов фермы. При его реализации из фермы последовательно вырезаются узлы, к ним помимо действующих внешних сил прикладываются усилия в сходящихся в них стержнях и для каждого узла записываются уравнения равновесия. Число последних, как известно, для плоских ферменных узлов равно двум, а для пространственных — трем (число уравнений равновесия соответственно плоской или пространственной сходящейся системы сил). Совокупная система уравнений равновесия всех узлов служит для нахождения усилий в стержнях фермы и в опорных связях.

В случае свободной плоской (пространственной) фермы в силу ее глобального равновесия три уравнения (шесть) оказываются лишними. Ими можно воспользоваться для контроля проведенных вычислений. Для нормально закрепленной фермы подобный контроль осуществляется с помощью уравнений глобального ее равновесия. Чаще всего, однако, для таких ферм сначала находят опорные реакции, а уж потом применяют метод вырезания узлов как для свободной фермы.

Заметим, что совокупная система уравнений равновесия узлов — система линейных, вообще говоря, связанных алгебраических уравнений. Характер этой связанности зависит от структуры фермы. Метод вырезания узлов наиболее эффективен при расчете так называемых простейших ферм. Отличительная особенность их структуры проявляется в том, что совокупная система уравнений равновесия узлов представима в виде ряда последовательно решаемых друг за другом подсистем уравнений равновесия отдельных узлов. Характерно, что число искомых любой такой подсистемы после решения всех предшествующих ей в ряду подсистем не превосходит ее порядка. Другими словами, для простейшей фермы можно указать такую упорядоченную (вообще не единственную) последовательность вырезания узлов, при которой из уравнений равновесия каждого текущего узла определяются все до сих пор еще не найденные усилия в сходящихся в нем стержнях.

Для простейших ферм можно рекомендовать такую схему реализации метода вырезания узлов:

1) Из уравнений глобального равновесия фермы определить усилия в опорных стержнях, если, конечно, таковые имеются.

2) Выбрать рациональную последовательность вырезания узлов, придерживаясь правил,

а) первым вырезается узел, в котором сходится ровно столько стержней, сколько можно составить для него уравнений равновесия;

б) в любом текущем узле последовательности число ненайденных усилий в сходящихся в нем стержнях не должно превышать числа уравнений равновесия узла.

3) В соответствии с фиксированной последовательностью рассмотреть равновесие каждого узла.

4) Для контроля воспользоваться последними уравнениями равновесия узлов.

Заметим, что этапы 2, 3 выполняются обычно параллельно. Условимся, усилие в стержне обозначать символом с нижними индексами, указывающими номера узлов, которые соединяет рассматриваемый стержень. Например, , — усилия в стержнях, соединяющих соответственно узлы 1, 3 и 2, 10. Неизвестные усилия будем предполагать сначала растягивающими. Если в результате вычислений усилие получится положительным, то его направление угадано верно. В противном случае направление его действия должно быть изменено на противоположное. Таким образом, при вычислениях знак усилия несет в себе информацию о направлении его действия: положительное усилие — растягивающее, действует от узла; отрицательное — сжимающее, направлено к узлу. Договоримся поэтому все усилия изображать на рисунках положительными, полагая, что дополнительную информацию об истинном направлении усилий дают знаки их величин.

При решении конкретных задач весьма полезны следующие три леммы.

Л емма I. Если в плоском (пространственном) ферменном узле сходятся два (три) неколлинеарных (некомпланарных) ферменных стержня и узел свободен от внешних сил, то усилия в названных стержнях равны нулю (рис. 3.1 а, б).

Лемма 2. Если в плоском (пространственном) ферменном узде сходятся два (три) неколлинеарных (некомпланарных) ферменных стержня и на узел действует сила в направлении какого-либо одного стержня, то в последнем усилие равно по величине и противоположно по направлению действующей на узел силе, а в остальных стержнях усилия равны нулю (рис. 3.2 а, б).

Лемма 3. Если в плоском (пространственном) форменном узле сходятся три ( ) ферменных стержня, из которых два ( ) коллинеарны (компланарны), и на узел действуют силы в направлении (в плоскости) коллинеарности (компланарности) стержней, то усилие в отдельно отстоящем стержне равно нулю (рис. 3.3 а, б).

Доказательство лемм со всей очевидностью вытекает из равновесия соответствующих узлов.

3.2.3. Метод замены связей. С простейшими фермами приходится сталкиваться довольно редко. Подкупающая простота реализации для них метода вырезания узлов побудила поиск различных искусственных приемов сведения не простейших ферм к простейшим. К их числу относится и метод замены связей, сущность которого проще всего разъяснить на конкретном примере.

Рассмотрим плоскую ферму, показанную на рис. 3.5 а. Она образована из 7 узлов и 14 стержней, среди которых 3 опорных. Поэтому , и согласно необходимому признаку эта ферма геометрически неизменяема и статически определима в широком смысле. Достаточный признак геометрической неизменяемости требует привлечения процедуры нахождения усилий в стержнях.

З аметим, что рассматриваемая ферма не является простейшей. В ней нет ни одного узла, в котором сходилось бы два стержня. Непосредственное применение метода вырезания узлов здесь нецелесообразно, т.к. оно сведется, в конечном счете, к решению связанной системы линейных алгебраических уравнений 11-го порядка.

Метод замены связей предусматривает превращение исходной фермы в близкую к ней простейшую путем воображаемой замены определенного реального стержня (связи) новым стержнем (связью). В простейшей ферме, для расчета которой теперь можно воспользоваться методом вырезания узлов, след от исключенного реального стержня сохраняется в виде двух равных по величине, но противоположных по направлению внешних сил — усилий в исключенном стержне.

В изучаемой ферме можно ввести, например, новую связь в виде стержня 2-5, а исключить стержень 3-6, воображаемое присутствие которого в новой ферме сохраним в виде двух пока неизвестных внешних сил . Нетрудно понять, что новая ферма простейшая: метод вырезания узлов приводит к успеху, например, для последовательности вырезания узлов 3, 6, 4, 1, 5, 2, 7. Усилия в стержнях находятся при этом с точностью до величин . Обозначим их символом с соответствующими нижними индексами (в отличии от усилий для исходной фермы). Тогда можно записать

Здесь — усилие в стержне простейшей фермы, соединяющем узлы с номерами , ; — часть этого усилия, обусловленная действием лишь заданных для исходной фермы внешних сил; — значение того же усилия лишь от сил .

Чтобы возвратиться к исходной ферме, необходимо теперь исключить в соответствующей ей простейшей ферме новую связь, для чего достаточно потребовать обращения в нудь усилия в ней. Из последнего условия и находится усилие в замененной связи:

Усилия в остальных стержнях исходной фермы очевидно равны

Метод замены связей применим и при расчете комбинированных систем.