3. Расчет статически определимых стержневых систем

Статический расчет стержневой системы начинается с кинематического анализа и завершается определением внутренних сил и перемещений ее элементов.

Кинематический анализ всегда дает непосредственный и определенный ответ лишь в части необходимого признака геометрической неизменяемости стержневой системы. Что же касается достаточного признака геометрической неизменяемости, то его использование требует зачастую (см. п.п. 2.2, 1,2) осуществления второго этапа статического расчета — этапа определения внутренних сил в элементах стержневой системы.

Этот этап наиболее просто реализуется в случае статически определимых стержневых систем, изучению которых посвящена настоящая глава. Определяющим свойством таких систем является возможность нахождения внутренних сил с помощью лишь средств статики — уравнений равновесия стержневой системы. Они слагаются из уравнений глобального равновесия системы в целом и уравнений равновесия всевозможных изолированных ее фрагментов. Совокупность уравнений равновесия системы всегда превосходит по количеству число искомых внутренних сил. Однако из нее можно выделить максимальное подмножество независимых уравнений — таких, что все остальные уравнения равновесия являются их следствием. В случае статически определимых стержневых систем максимальное число независимых уравнений их равновесия в точности совпадает с числом неизвестных внутренних сил, включающем и усилия в опорных стержнях.

Конкретная реализация этапа определения внутренних сил в элементах статически определимой стержневой системы — это, если так можно выразиться, искусство пользования уравнениями равновесия, существенным образом связанное со структурой изучаемой системы. Ниже в п.п. 3.2 – 3.4 излагаются некоторые традиционные методы (приемы) нахождения внутренних сил в ферменных, рамно-балочных и тонкостенных стержневых системах, не ориентированные на применение современных ЭВМ. К использованию этих методов сводится и расчет комбинированных систем после разбиения их на ферменные, рамно-балочные и тонкостенные фрагменты.

Очень важно подчеркнуть, что внутренние силы в элементах статически определимых стержневых систем никоим образом не зависят от нагрева. Это следует из того, что температура не входит (и в принципе не может входить) в уравнения равновесия.

При упругом анализе стержневых систем практический интерес представляют не функции перемещений, а те или иные обобщенные перемещения отдельных точек ее элементов. Основанная на применении теоремы Кастильяно методика нахождения таких перемещений излагается в п.3.5.

3.1. Степень статической неопределимости

Под степенью статической неопределимости стержневой системы понимается число внутренних силовых факторов в ее элементах и опорных стержнях, которые не удается найти из максимальной совокупности независимых уравнений равновесия системы. Обозначим это число символом . Тогда для статически определимых стержневых систем , а в остальных случаях .

Остановимся на вычислении степени статической неопределимости стержневой системы. Для этого необходимо знать число внутренних силовых факторов в ее элементах и опорных связях, а также наибольшее количество независимых уравнений равновесия системы.

В п. 2.1 отмечалось, что всякая стержневая система может быть представлена как совокупность ферменных узлов и дисков или блоков, соединенных между собой и с опорами ферменными стержнями и тонкими стенками. Такое представление оказалось возможным благодаря тому, что в понятие диска или блока были включены соответственно плоские и пространственные статически определимые и внутренне геометрически неизменяемые стержневые подсистемы. Если внешние воздействия на такую изолированную подсистему известны, то внутренние силовые факторы в ее элементах находятся из соответствующих уравнений равновесия. Поэтому с точки зрения вычисления степени статической неопределимости к искомым внутренним силовым факторам стержневой системы следует отнести усилия в ферменных стержнях и потоки касательных сил в тонких стенках. Их число в терминах п. 2.1 равно — числу тонких стенок и ферменных стержней, включая опорные. Естественно, что фактическое число внутренних силовых факторов стержневой системы может превышать .

Не представляет теперь особого труда подсчет наибольшего количества независимых уравнений равновесия стержневой системы. Оно, очевидно, слагается из количеств уравнений равновесия всех изолированных ферменных узлов и дисков или блоков. Для изолированного плоского ферменного узла можно составить всего 2 уравнения равновесия, для изолированного пространственного узла или диска — 3, а для изолированного блока — 6 уравнений равновесия. Таким образом, если, как и ранее, через , , и обозначить число соответственно дисков, блоков, плоских и пространственных ферменных узлов, то наибольшее количество независимых уравнений равновесия равно для плоских и для пространственных, причем только закрепленных (в обоих случаях) стержневых систем. Именно по этой причине здесь не учитывались уравнения глобального равновесия изолированной от опор стержневой системы как единого целого. Для закрепленных систем такое равновесие выполняется при любых внешних воздействиях за счет соответствующего распределения величин усилий в опорных стержнях.

При изучении свободных стержневых систем из наибольшего числа независимых уравнений равновесия следует исключить уравнения глобального равновесия (3 для плоских, 6 для пространственных систем), которые не содержат искомых внутренних сил и обычно в силу самоуравновешенности внешних воздействий выполняются тривиальным образом. Таким образом, наибольшее количество независимых уравнений равновесия свободной стержневой системы в зависимости от того плоская она или пространственная равно соответственно и . Итак, для степени статической неопределимости имеет место формула

(3.1)

С учетом (2.1), (2.2) ей можно придать вид

(3.2)

В случае полусвободных стержневых систем справедливы отношения

Об определенном значении здесь можно говорить только для конкретной стержневой системы.

Заметим еще, что степень статической неопределимости всегда можно представить в виде суммы

где — степень внешней, а — степень внутренней статической неопределимости.

Для свободных, полусвободных и нормально закрепленных систем . Во всех других случаях (избыточно закрепленных систем) и в каждом конкретном случае определяется разностью фактического числа опорных стержней и минимально необходимого числа таких же стержней для соответствующей нормально закрепленной стержневой системы. Если — фактическое число опорных стержней, то

(3.3)

Чтобы определить , достаточно превратить исследуемую стержневую систему в свободную и подсчитать для нее по соответствующей формуле (3.2). Это и будет равно .

Итак, следует различать статическую неопределимость в широком смысле и внешнюю и внутреннюю статическую неопределимость. Их степень характеризуется соответственно числами , и .