2. Кинематический анализ стержневых систем

Как уже отмечалось, цель кинематического анализа — установление геометрической неизменяемости (изменяемости) стержневой системы. Основным его средствами являются необходимый и достаточные признаки, позволяющие высказать однозначное суждение о геометрической неизменяемости (изменяемости) исследуемой системы. Эти признаки вытекают из определения геометрической неизменяемости, подтверждая, тем самым, его корректность и силу.

2.1 Необходимый признак геометрической неизменяемости.

По определению геометрическая неизменяемость означает отсутствие подвижности всей стержневой системы или отдельных ее частей друг относительно друга как абсолютно твердых тел.

Чтобы обнаружить это, достаточно применить "принцип отвердения", т. е. предположить, что все деформируемые элементы стержневой системы превратились в абсолютно твердые тела. Тогда исходная деформируемая система превращается в механическую (недеформируемую) систему, подвижность которой распознается уже по числу ее степеней свободы, которое мы будем обозначать символом .

Пусть известно. Тогда необходимый признак геометрической неизменяемости в широком смысле можно сформулировать так:

Для того чтобы стержневая система была геометрически неизменяемой, необходимо, чтобы число степеней свободы механической системы, в которую переходит исходная стержневая система в результате применения к ней принципа отвердения, было неположительным, т. е. .

Заметим, что можно представить в виде суммы

где — число внешних степеней свободы, определяющее подвижность механической системы относительно опор, а — число внутренних степеней свободы системы, характеризующее подвижность ее частей друг относительно друга. В случае неподвижно закрепленных стержневых систем : для нормально закрепленных и для избыточно закрепленных систем. Если же система свободная, то в зависимости от того плоская она или пространственная или . Во всех остальных случаях (для полусвободных систем) , если система плоская, и , если система пространственная.

С учетом сказанного необходимый признак внутренней геометрической неизменяемости можно теперь сформулировать так:

Для того чтобы стержневая система была внутренне геометрически неизменяемой, необходимо, чтобы

Полусвободные и избыточно закрепленные системы исследуются на внутреннюю геометрическую неизменяемость с помощью только что сформулированного признака путем сведения их (исключения или добавления внешних связей) к любому из данных в нем частных случаев.

Заметим, что в полном согласии с необходимым признаком геометрически неизменяемая в широком смысле система может оказаться внутренне геометрически изменяемой. Подобные ситуации имеют место в избыточно закрепленных внутренне геометрически изменяемых системах.

Определение числа степеней свободы стержневой системы.

Ниже на конкретных примерах будет показано, что любую, отвердевшую упругую стержневую систему можно рассматривать как образование из ферменных узлов (плоских или пространственных), дисков (для плоских систем) или блоков (для пространственных систем) и ферменных стержней.

Под ферменным узлом понимается шарнирный узел, расположенный на пересечении ферменных стержней и не лежащий на опорах или рамно-балочных элементах. Ферменным называется стержень, работавший до отвердения лишь на растяжение—сжатие. Наконец, диском (блоком) назовем внутренне геометрически неизменяемую и статически определимую плоскую (пространственную) отвердевшую упругую стержневую систему либо абсолютно твердое по своей природе плоское (пространственное) тело.

Положительный вклад в число степеней свободы дают ферменные узлы и диски (блоки). Действительно, ферменный узел — это точка. На плоскости ее положение определяется двумя, а в пространстве — тремя, например, декартовыми координатами (рис. 2.1). Поэтому плоский узел имеет две, а пространственный — три (подчеркнем, положительные) степени свободы. Число степеней свободы диска и блока равно соответственно трем (два независимых смещения и одно вращение, рис. 2.2 а) и шести (по три независимых смещения и вращения, рис. 2.2 б). Другими словами, узлы, диски и блоки являются носителями степеней свободы.

Остальные элементы стержневой системы уменьшают число ее степеней свободы. Для ферменного стержня это видно из рис. 2.3, где показаны плоский (рис. 2.3 а) и пространственный (рис. 2.3 б) ферменные узлы, присоединенные к опорному шарниру с помощью ферменного стержня. Плоский ферменный узел, имевший первоначально две с тепени свободы, после такого прикрепления получает возможность перемещаться только по окружности, радиус которой равен длине прикрепляющего стержня. Его положение вполне фиксируется одним параметром, например, углом наклона стержня к оси . Пространственный узел имел три степени свободы. После прикрепления ферменным стержнем к опорному шарниру он получает возможность перемещаться по сфере, и его положение единственным образом описывается двумя независимыми координатами. Таким образом, введение в стержневую систему одного ферменного стержня уменьшает число ее степеней свободы на единицу. То же можно сказать и об опорном стержне: будучи абсолютно твердым по своей природе, он ничем не отличается от отвердевшего ферменного стержня.

Такой же эффект дает и тонкая стенка. Ее деформирование описывается единственным параметром — углом сдвига, который после отвердения стенки будет, очевидно, равен нулю. Поэтому, если в прямоугольный шарнирный параллелограмм (рис. 2.4 а), допускающий свободное изменение угла между смежными стержнями, ввести тонкую стенку, то (рис. 2.4 6) после отвердения последней такая возможность исчезает.

Основываясь на вышеизложенном, заключаем, что число степеней свободы плоской отвердевшей стержневой системы подсчитывается по формуле

(2.1)

где — число плоских ферменных узлов, — количество дисков, а — число всех тонких стенок и ферменных стержней, включая опорные.

В пространственном случае

(2.2)

Здесь введены обозначения и для количеств пространственных ферменных узлов и блоков.

Прежде чем перейти к иллюстрации практического применения формул (2.1), (2.2), поясним смысл опорных стержней, ограничившись рассмотрением наиболее употребительных прикреплений к опорам плоских стержневых систем. Под опорным стержнем условимся понимать упругий или недеформируемый ферменный стержень, соединяющий опорный шарнир с каким либо ферменным или другим шарнирным узлом. На рис. 2.5 показаны три вида жесткого соединения тела с опорой (заделка, шарнир и аток) и даны их схематичные изображения с помощью опорных стержней.