1.9. Осесимметричная плоская задача теории упругости

Плоская задача теории упругости в полярных координатах наиболее просто решается в тех случаях, когда напряженно-деформированное состояние в теле не зависит от угловой координаты . Желая подчеркнуть этот факт, задачи такого рода называют осесимметричными или центрально симметричными

Осесимметричная плоская задача реализуется в телах вращения при действии на них только радиальных внешних сил, не зависящих от угла . Изучение этой задачи мы начнем с построения ее общего решения в варианте метода перемещений и завершим разбором некоторых прикладных задач.

1.9.1. Метод перемещений в осесимметричной плоской задаче. Рассмотрим плоское тело вращения, находящееся в равновесии под действием радиальных внешних нагрузок, не зависящих от угловой координаты . Предположим также, что в теле имеется осесимметричное температурное поле, заданное функцией .

В силу осевой симметрии можно принять, что , а , и являются функциями только координаты .

Посмотрим, как упростятся основные уравнения плоской задачи в полярных координатах с учетом осевой симметрии.

Из двух уравнений равновесия (1.70) второе обращается в тождество , а первое принимает вид

(1.78)

Согласно (1.72) отличные от нуля деформации равны

(1.79)

и при наличии температурного поля связаны с напряжениями законом Гука (см. ( 1.35))

(1.80)

или в обратной форме

(1.81)

Следуя методу перемещений, примем за основную неизвестную величину смещение . Напряжения выражаются через нее очевидными формулами (см. (1.79), (1.81))