1.3. Условия совместности деформаций.

Посмотрим, как определяются перемещения при известных деформациях.

Если деформации заданы произвольно, то гипотеза сплошности может быть нарушена, и следовтельно, перемещения определяются неоднозначно. Деформаций шесть, а перемещений только три. Деформации поэтому нельзя задавать произвольно. Должны быть выполнены шесть условий их совместности, то есть условий их интегрируемости Их еще называют условиями "сплошности" перемещений.

Эти условия или уравнения определяются конструкцией выражений Коши для деформаций (1.1), вытекают из них и нося имя Сен-Венана.

……………………..

……………………..

……………………..

……………………..

Если ход решения задачи организован так, что находятся перемещения, а потом - деформации, то соотношения их совместности не нужны,

В противном случае, то есть когда сначала ищутся деформации, а потом перемещения, все - иначе. Условия сплошности необходимы. Иначе взаимные противоречия в соотношениях Коши не позволят найти перемещения.

Итак, условия совместности = условия сплошности = соотношения Сен-Венана.

1.4. Теория напряжений

В процессе деформирования твердого тела участвуют два вида сил: внешние и внутренние. Внешние силы обычно считаются заданными, а внутренние — искомыми, определяемыми в ходе решения конкретной задачи.

Настоящий раздел целиком посвящен статической стороне процесса деформирования тела. Сущность раздела составляет связь между внешними и внутренними силами.

Внешние силы. Действующие на тело внешние силы можно разделить на поверхностные и объемные.

Поверхностные силы прикладываются к границе (поверхности) телa и возникают при контактном взаимодействии с другими телами или средами. Примером таких воздействий могут служить давление жидкости или газа (ветер), реактивные силы со стороны опор или других твердых тел и т.п.

П усть тело в деформированном состоянии отнесено к прямоугольной декартовой системе координат Oхyz, единичные орты которой обозначим через и , и пусть — вектор единичной внешней нормали к поверхности тела в точке А (см. рис. 1.3 a). Предположим, что на элемент поверхности, содержащей точку А, действует сила . Тогда за меру поверхностных сил в точке А можнo принять векторную величину, определяемую соотношением

,

(1.2)

где предельный переход осуществляется при стягивании элемента поверхности в точку А. Вектор имеет размерность [сила/длина² ] и именуется в литературе удельной поверхностной силой, интенсивностью или плотностью поверхностных сил. Его компоненты считаются положительными, если направления векторов совпадают с положительными направлениями соответствующих осей координат (независимо от направления внешней нормали к поверхности в рассматриваемой точке).

Объемные силы действуют в каждой точке тела и порождаются силовыми полями (гравитационными, электромагнитными и другими).

Примерами объемных сил могут служить силы веса, инерционные и другие силы. Мера объемных сил вводится по аналогии с поверхностными силами при помощи соотношения (см. рис.1.3 6)

,

(1.3)

где — сила, действующая на элемент объема тела в окрестности некоторой точки А внутри тела, а предельный переход осуществляется при стягивании элемента объема в точку А. Вектор называется удельной объемной силой (интенсивностью или плотностью объемных сил) и имеет размерность сила/длина. Компоненты считаются положительными, если направления векторов совпадают с положительными направлениями соответствующих осей координат.

В дальнейшем, говоря о внешних силах, мы будем иметь в виду удельные внешние силы.

1.4.1. Напряжения. Под внутренними силами понимаются силы взаимодействия частей тела в процессе его деформирования. Для обнаружения их применим так называемый метод сечений, сущность которого заключается в следующем.

П усть деформируемое тело под действием внешних сил находится в состоянии равновесия (см. рис.1.4а). Рассечем его мысленно некоторой гладкой поверхностью на две части и отделим их друг от друга (см. рис.1.46). К поверхностям сечения обоих частей приложим силы, с которыми одна часть действует на другую. Для целого тела эти силы являются внутренними силами взаимодействия частиц, расположенных по обе стороны поверхности разреза, и по третьему закону Ньютона они равны по величине и противоположны по направлению. В результате такого построения каждая из частей тела должна находится в равновесии (в противном случае из этих частей не удастся составить исходное, находящееся в состоянии равновесия тело). Рассмотрим, например, левую часть. По отношению к ней внутренние для всего тела силы взаимодействия являются поверхностными и согласно предыдущему пункту в некоторой точке А поверхности сечения их можно измерять вектором (см. рис. 1.4 6)

называемым вектором напряжений. Как видно он зависит от положения точки его приложения и направления нормали к поверхности его действия и имеет размерность сила/длина² .

Пусть С — линия пересечения поверхности сечения с плоскостью, содержащей

векторы и , а — единичный вектор, касающийся этой кривой в точке А (см. рис. 1.4 в). Проекцию ( ) вектора напряжений на направление ( ) называют нормальным (касательным) напряжением.

Так как внутренние силы взаимодействия частей тела подчиняются третьему закону Ньютона, то (см.рис.1.4 6)

(1.4)

Чаще всего нам придется рассматривать площадки, нормаль к которым параллельна одной из координатных осей. Пусть, например, . Тогда для вектора можно использовать обозначение , а для его проекций на оси координат — (см. рис.1.5а), где первый индекс указывает направление нормали к площадке ( ), а второй — ось, на которую спроектирован вектор . Аналогично рассматриваются и площадки, нормали к которым параллельны другим осям (см. рис.1.4 в). Девять составляющих

векторов на оси координат образуют так называемый тензор напряжений и называются компонентами тензора напряжений или просто напряжениями.

Н апряжения с одноименными индексами называются нормальными, а с разноименными — касательными. Правило знаков для них вытекает из рис. 1.5. Так, например, в случае, показанном на рис. 1.З а, нормаль к площадке направлена вдоль положительной оси и соответствующие напряжения считаются положительными, если их направления совпадают с положительными направлениями координатных осей. Если же нормаль к рассматриваемой площадке будет противоположна положительному направлению оси , то согласно (1.4) положительные напряжения на этой площадке будут против положительных направлений осей координат (см. рис. 1.6).

1.4.2. Условия на поверхности. Уравнения равновесия. Пусть деформируемое тело находится в равновесии. Это означает, что главный вектор и главный момент действующих на него (как на абсолютно твердое тело) внешних сил должны равняться нулю, то есть

	(1.5)
	(1.6)

Здесь , — векторы интенсивностей объемных и поверхностных сил соответственно;

(1.7)

— радиус-вектор рассматриваемой точки; , — соответственно объем и площадь поверхности тела, a и — их бесконечно малые элементы.

Уравнения (1.5), (1.6) выражают необходимые и достаточные условия равновесия тела в целом и выполняются независимо от значений внутренних сил (напряжений). Вообще говоря, они имеют место в деформированном состоянии тела. Однако можно показать, что в рамках линейной теории и гипотезы о малости перемещений и деформаций уравнения равновесия, как и понятия о мерах внешних и внутренних сил, в деформированном и недеформированном состояниях совпадают. Поэтому исследование статической стороны процесса деформирования можно проводить в исходной геометрии тела.

Если тело находится в состоянии равновесия в целом, то, очевидно, и любая мысленно выделенная из него часть под действием приложенных к ней сил (включая напряжения) также будет находиться в состоянии равновесия. Этот факт позволяет установить связь напряжений с порождающими их внешними силами.

С вязь напряжений с поверхностными силами можно найти из рассмотрения равновесия бесконечно малого объема, выделенного из тела в окрестности его границы, и последующего предельного перехода, когда этот элемент объема подобным образом стягивается в рассматриваемую граничную точку.

Пусть — единичная внешняя нормаль к поверхности деформированного тела в некоторой ее точке А с координатами . Возьмем в малой ее окрестности внутри тела на продолжении нормали другую точку с координатами (см. рис.1.7). Проведем через точку три плоскости, параллельные координатным плоскостям, а через точку А — плоскость, касающуюся поверхности тела. В результате получим элемент объема тела в форме тетраэдра

Уравнение равновесия действующих на тетраэдр сил имеет вид

,

(1.8)

Здесь

или в координатной форме

(1.9)

Уравнения (1.9) устанавливают искомую связь между напряжениями и поверхностными силами. По своему физическому смыслу они отражают условия локального равновесия на границе тела и называются условиями на поверхности или статическими граничными условиями. Заметим, что они верны лишь на границе тела.

Связь напряжений с объемными силами можно вывести из рассмотрения равновесия элемента объема, выделенного в окрестности внутренней точки тела. Однако в этом нет необходимости, так как искомые соотношения являются следствием глобального равновесия тела (см. (1.5), (1.6)) и локального равновесия на границе (см.(1.8)).

(1.10)

или в координатной форме

(1.11)

Аналогичным образом преобразуется и уравнение (1.6) к виду

(1.12)

Соотношения (1.12) принято называть законом парности касательных напряжений. Он показывает, что порядок следования индексов в обозначениях касательных напряжений несущественен, и служит доказательством симметричности тензора напряжений.

Если процесс деформирования носит временной характер, то в состав объемных сил следует включить силы инерции. Пусть — массовая плотность материала, из которого изготовлено тело. Тогда вектор плотности инерционных сил равен , где через обозначено время. Вводя в уравнение (1.10) вместо вектора объемной силы вектор , получим динамические уравнения равновесия в векторной форме:

(1.13)

Вид их в координатной форме очевиден.

1.4.3. Напряженное состояние в точке. Из предыдущих рассуждений следует, что значения напряжений зависят от положения точки и ориентации площадки, на которую они действуют.

Предположим, что в некоторой точке внутри тела известны компоненты тензора напряжений, то есть, заданы вектора

(1.14)

действующие на площадки, перпендикулярные осям , , соответственно. Покажем, что через эти величины выражаются, и притом единственным образом, напряжения на любой другой площадке, проходящей через эту же точку А.

Пусть ориентация площадки определена единичным вектором ее нормали , а — действующий на нее искомый вектор напряжений. Выделим мысленно в окрестности точки бесконечно малый тетраэдр, три грани которого параллельны координатным плоскостям, а четвертая совпадает с рассматриваемой площадкой (см. рис.1.7). Исследуя равновесие этого тетраэдра по аналогии с предыдущим пунктом, найдём

(1.15)

или в координатной форме

(1.16)

Эти соотношения доказывают сделанное утверждение и позволяют полностью описать напряженное состояние в точке деформированного тела.

Остановимся на одном частном вопросе, обязанном с понятием главных напряжений и главных площадок. Главной называют площадку, на которую действует вектор напряжений, параллельный ее нормали. Численное значение длины этого вектора называется главным напряжением. Покажем, как с помощью формул (1.16) можно найти главные напряжения и положения главных площадок.

Из определения главного напряжения следует

(1.17)

Подставляя эти выражения в уравнения (1.16), получим

(1.18)

К этой однородной системе линейных алгебраических уравнений относительно направляющих косинусов , , нормали следует добавить очевидное соотношение

(1.19)

Уравнений (1.18) ,(1.19) достаточно для нахождения четырех величин , , и . Действительно, нетривиальное (отличное от нуля) решение системы (1.18) существует, если

Раскрывая определитель, получим кубическое уравнение

(1.20)

коэффициенты которого имеют вид

(1.21)

С помощью закона парности касательных напряжений можно показать, что уравнение (1.20) имеет три действительных корня , , , дающие значения главных напряжений. Для каждого из них можно найти решение системы (1.18), (1.19). Таким образом, в каждой точке тела существует три главные площадки. С помощью закона парности касательных напряжений можно показать, что главные площадки ортогональны друг другу.