Міністерство фінансів України
Харківський інститут фінансів
Українського державного університету фінансів
та міжнародної торгівлі
Кафедра економіко – математичних методів та інформаційних технологій
Теорія ймовірності та математична статистика
Методичні вказівки і завдання щодо виконання індивідуального завдання
для студентів денної форми навчання
освітньо-кваліфікаційний рівень – бакалавр
галузь знань – 0305 «Економіка та підприємництво»
напрям підготовки – 6.030508 «Фінанси і кредит»,
6.030503 «Міжнародна економіка»
Укладач Шульга Н. В., к.п.н., старший викладач
Загальні положення Вступ
Дисципліна „Теорія ймовірності та математична статистика” відноситься до нормативних дисциплін циклу природничо-наукової та загальноекономічної підготовки напряму 0501 „Економіка і підприємництво” за напрямами підготовки – 6.030508 «Фінанси і кредит», 6.030503 «Міжнародна економіка»
Вивчення дисципліни передбачає опанування знаннями та вміннями, достатніми для забезпечення основних потреб спеціальної підготовки та професійної діяльності майбутніх фахівців галузі економіки та фінансів.
Важливим є і те, що дисципліна „Теорія ймовірності та математична статистика”, дозволить студентами надалі не зазнавати труднощів при вивченні спеціальних розділів, таких як „Оптимізаційні методи та моделі”, «Економетрика», знання яких дає майбутньому фахівцю могутній математичний апарат для економічних досліджень в його подальшій науковій і практичній діяльності.
Мета: поглибити, систематизувати та узагальнити теоретичні знання з теорії ймовірності та математичної статистики.
Критерії оцінювання індивідуального завдання
Робота складається з 30 індивідуальних варіантів, що дає змогу об´єктивно та повно оцінити рівень знань, умінь і навичок студентів.
Кожен з варіантів містить завдання, розв`язування якого є можливим за умови оволодіння питаннями як теоретичного, так і практичного характеру.
Рівень знань студентів оцінюється за чотирибальною системою:
Оцінка «5 (відмінно)» ставиться коли завдання виконано у повному обсязі, студент повністю дослідив функцію і правильно побудував її графік.
Оцінка «4 (добре)» – студент правильно побудував графік функції, але в дослідженні допустив окремі незначні помилки й неточності.
На оцінку «3 (задовільно)» заслуговує студент, який при виконанні завдання допустив суттєві неточності, істотні помилки, в роботі відсутня послідовність і чіткість.
Оцінка «2 (незадовільно)» – матеріал студентом не засвоєний, в роботі допускаються грубі помилки, відсутні необхідні знання та уміння.
Задача 1.
Варіант 1. На склад поступають одинакові електричні лампочки. Перший завод постачає 70%, другий - 30% всієї кількості лампочок. Відомо, що перший завод виготовляє 95% якісної продукції, а другий - 92%. Вибрана навмання електролампочка виявилася якісною. Знайти ймовірність того, що ця електролампочка виготовлена першим заводом.
Варіант 2. Із усіх приладів, що поступають на склад, 80% зібрані із високоякісних деталей, а 20% - із деталей низької якості. Якщо прилад зібраний із високоякісних деталей, то його надійність (ймовірність безвідмовної роботи) на протязі визначеного періоду часу, дорівнює 0,9. Якщо прилад зібраний із деталей низької якості, .то його надійність дорівнює 0,5. При випробуванні прилад працював безвідмовно. Знайти ймовірність того, що прилад зібраний із високоякісних деталей.
Варіант 3. Під час збирання машини використовуються деталі, які виготовляють три автомати. Перший автомат виготовляє 2.0%, другий - 30%, третій - 50% усіх деталей, що поступають на збирання. Перший автомат допускає 0,2%, другий - 0,3%, третій - 0,1% браку. Знайти ймовірність того, що на збирання поступила бракована деталь.
Варіант 4. Прилад, встановлений на борту літака, може працювати в двох режимах: в умовах нормального крейсерського польоту і в умовах перевантаження при зльоті і посадці. Крейсерський режим польоту спостерігається в 80%, а перевантаження - в 20% часу польоту. Ймовірність виходу приладу з ладу за час польоту в нормальному режимі дорівнює 0,1, а в умовах перевантаження - 0,4. Обчислити, ступінь надійності приладу за час польоту.
Варіант 5. Партія транзисторів, серед яких 10% дефектних, надійшла на перевірку. Схема перевірки така, що із ймовірністю 0,95 виявляється дефект, якщо він є. Ймовірність того, що справний транзистор буде визнаним дефектним, дорівнює 0,03. Яка ймовірність того, що випадково вибраний з партії транзистор буде визнаним дефектним?
Варіант 6. На продаж надходять телевізори трьох заводів. Продукція першого заводу містить 20%, другого - 10%, третього - 5% телевізорів з прихованими дефектами. Яка ймовірність придбання несправного телевізора, якщо в магазин надійшло 30% телевізорів з першого заводу, 20% - із другого і 50% - з третього?
Варіант 7. В ящику знаходяться 20 тенісних м'ячів, серед яких 15 нових і 5 старих. Для гри навмання вибираються два м'ячі, а після гри вони не повертаються назад. Потім для другої гри також навмання виймаються ще два м'ячі. Яка ймовірність того, що друга гра буде проводитись новими м'ячами.
Варіант 8. Три стрілки, ймовірності попадання яких при одному пострілі в мішень в незмінних умовах, сталі і відповідно дорівнюють р1==0,8; р2=0,7; р3=0,6, виконують по одному пострілу в мішень. Знайти ймовірність події А=«в мішені виявлено дві пробоїни», прийнявши за гіпотези елементарні наслідки даного експерименту.
Варіант 9. Із десяти студентів, які складають іспит із теорії ймовірностей, два можуть відповісти на запитання 20 екзаменаційних білетів із 30, третій встиг повторити запитання лише 15 білетів, інші студенти знають відповіді на всі запитання. Екзаменатор запрошує відповідати одного студента. Яка ймовірність того, що запрошений студент склав іспит, якщо знання білету гарантують складання іспиту з ймовірністю 0,85, а при незнанні відповідей на запитання білету ймовірність скласти, іспит дорівнює 0,17?
Варіант 10. В першій урні знаходиться 6 білих і 4 чорних кулі, в другій - 3 білих і 2 чорних. З першої урни навмання дістають відразу 3 кулі і кулі того кольору, якого виявиться більше опускають у другу урну. Після цього із другої урни дістають одну кулю. Яка ймовірність того, що вона виявиться білою?
Варіант 11. Два цехи: штампують однотипові деталі. Перший цех допускає 5 % браку, другий –3 %. Для контролю відібрано 15 деталей Із першого цеху і 25 деталей із другого. Ці 40 деталей змішані в одну партію, із неї навмання дістають одну деталь. Яка ймовірність того, що вона бракована?
Варіант 12. На вхід радіолокаційного пристрою з ймовірністю 0,8 надходить суміш корисного сигналу із завадою, а з ймовірністю 0,2 - тільки завада. Якщо надходить .сигнал із, завадою, то пристрій реєструє наявність якого-небудь сигналу з ймовірністю 0,7; якщо тільки завада, то з ймовірністю 0,3. Відомо, що пристрій зареєстрував наявність сигналу. Знайти ймовірність того, що в його складі був корисний сигнал.
Варіант 13. Є 5 урн: дві із них містять по 2 білі і 3 чорні кулі, дві - по 1 білій і 4 чорних і одна - 4 білі і 1 чорну. Із однієї навмання вибраної урни взяли кулю. Вона виявилася білою. Яка ймовірність того, що куля вийнята із урни з 4 білими і однією чорною кулями?
Варіант 14. Прилад складається із двох послідовно ввімкнених вузлів. Надійність (ймовірність безвідмовної роботи на протязі часу t) першого вузла дорівнює 0,9, другого - 0,8. За час випробування приладу (на протязі часу t) зареєстроване відмовлення приладу. Найти ймовірність події А=«відмовив тільки перший вузол».
Варіант 15. Деталі, що виготовляються заводом, потрапляють для перевірки відповідності їх стандартам одному із двох контролерів. Ймовірність того, що деталь потрапляє до першого контролера дорівнює 0,6, до другого - 0,4. Ймовірність того, що придатна деталь буде визнана стандартною першим контролером дорівнює 0,94, а другим - 0,98. Придатна деталь при перевірці визнана стандартною. Знайти ймовірність того, що цю деталь перевіряв перший контролер.
Варіант 16. Є 5 ящиків: в кожному з них знаходиться 20 деталей; серед яких 18 стандартних. Є ще два ящика, в кожному з яких 25 стандартних і 5 бракованих деталей. Дістали одну деталь. Знайти ймоврність того, що ця деталь вийнята із першої групи ящиків.
Варіант 17. Студент знає 45 із 60 запитань програми. Кожний екзаменаційний білет містить три запитання. Знайти ймовірність того, що студент знає тільки два запитання екзаменаційного білету.
Варіант 18. В кожній із двох урн знаходиться 5 білих і 10 чорних куль. Із першої урни переклали навмання в другу урну одну кулю, а потім із другої урни навмання виймається одна куля. Знайти ймовірність того, що вийнята куля виявиться чорною.
Варіант 19. Три стрілки в однакових і незмінних умовах виконали по одному пострілу по одній і тій же мішені. Ймовірність улучення в ціль першим стрілком дорівнює 0,9; другим - 0,8; третім - 0,7. Знайти ймовірність того, що ціль уразили всі три стрілки.
20. Для сигналізації про аварію встановлені три незалежно працюючих пристрої. Ймовірність того, що при аварії спрацьовує перший пристрій дорівнює 0,9; другий - 0,95; третій - 0,85. Знайти ймовірність того, що при аварії спрацює тільки один пристрій.
Варіант 21. Ймовірність принаймні одного улучення в ціль при чотирьох пострілах дорівнює 0,9984. Знайти ймовірність улучення в ціль при одному пострілі.
Варіант 22. В ящику 10 деталей, серед яких 6 пофарбованих. Робочий навмання дістає 4 деталі. Знайти ймовірність того, що ці деталі виявляться пофарбованими.
Варіант 23. Відділ технічного контролю перевіряє вироби на стандартність. Ймовірність того, що виріб стандартний, дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що із двох перевірених виробів тільки один стандартний.
Варіант 24. Із партії виробів відбираються вироби вищого сорту. Ймовірність того, що навмання взятий виріб виявиться вищого сорту дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що серед трьох перевірених виробів тільки два виявляться вищого сорту.
Варіант 25. Для сигналізації про аварію встановлені два незалежно працюючих сигналізатори. Ймовірність того, що при аварії спрацює перший сигналізатор, дорівнює 0,95. Для другого сигналізатора ця ймовірність дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що при аварії спрацює тільки один сигналізатор.
Варіант 26. В ящику міститься 12 деталей, виготовлених першим заводом, 18 - другим і 20 - третім. Ймовірність того, що деталь, виготовлена першим заводом, відмінної якості, дорівнює 0,9; для деталей, виготовлених другим і третім заводами, ця ймовірність відповідно дорівнює 0,6 і 0,8. Знайти ймовірність того, що навмання взята деталь виявиться відмінної якості.
Варіант 27. Три стрільці виконали залп, причому дві кулі улучили в мішень. Знайти ймовірність того, що третій стрілець улучив в мішень, якщо ймовірності попадання в мішень першим, другим і третім стрільцями, відповідно дорівнюють 0,6; 0,5; 0,4.
Варіант 28. Два із трьох, незалежно працюючих елементів обчислювального пристрою відмовили. Знайти ймовірність того, що відмовили перший і другий елементи, якщо ймовірності відмови першого, другого і третього елементів відповідно дорівнюють 0,2;0,4;0,3.
Варіант 29. Студент знає 20 із 25 запитань програми. Знайти ймовірність того, що студент знає відповіді на три запропоновані запитання.
Варіант 30. Для деякої місцевості середня кількість похмурих днів у липні дорівнює. шести. Знайти ймовірність того, що першого та другого липня буде ясна погода.