3.5. Плоский конденсатор

Если обкладки конденсатора представляют собой две параллельные проводящие пластины, расстояние d между которыми существенно мень­ше их размеров, то такой конденсатор называют плоским (рис. 3.4).

Рассмотрим плоский пустой конденсатор, расстояние между пластина­ми которого равно d, а площадь каждой из них - S. Предположим, что конденсатор заряжен, т.е. на его пластинах имеются равные по величине, но противоположные по знаку заряды Q и -Q. Эти заряды распреде­лены равномерно по внутренним поверхностям пластин с поверхностной

Плотностью

=Q/S

Заряды Q и -Q создают (r) в пространстве электрические поля, напряженности которых обозначим Е₁ и Е₂ соответственно. Напряженность Е поля, создаваемого этой системой зарядов, согласно принципу суперпозиции равна сумме напряженностей полей, создаваемых каждой из пластин в отдельности:

E = E₁ + E₂ (3.19)

Рис. 3.4- Электрическое поле плоского конденсатора

Модули Е₁ и E₂ векторов E₁ и E₂ определяются формулой (1.63) для напряженности поля, создаваемого заряженной плоскостью:

C₁=Q/U₁. (3.20)

Пластины конденсатора разделяют пространство на три части. Как

видно из рис. 3.4 вне конденсатора векторы Е₁ и Е₂ направлены в про­тивоположные стороны. Так как модули этих векторов одинаковы, их сумма равна нулю:

Е₁ + Е₂ =0

вне конденсатора

Таким образом, электрическое поле вне конденсатора отсутствует.

Внутри конденсатора, т.е. в пространстве между его пластинами, век­торы Е₁ и Е₂ направлены в одну сторону. Поэтому вектор напряженно­сти поля

Е = 2Е₁

Таким образом, приходим к следующей формуле для напряженности электрического поля в плоском конденсаторе:

Е = /2₀. (3.21)

Вычислим работу А, которую совершает электрическое поле при пере­носе заряда q с положительно заряженной пластины 1 на отрицательно заряженную пластину 2. Согласно определению работы, которое выра­жается формулами (1-27) и (1.34), будем иметь

A = qEd.

Так как постоянное электрическое поле является консервативным, ра­боту можно найти по формуле (1.35)

А = q (₁ - ₂)

Приравняем эти два выражения для работы. С учетом определения (3.12) придем к соотношению

U = Ed, (3.22)

которое связывает напряжение на плоском конденсаторе, т.е. разность потенциалов между его пластинами и напряженность электрического по­ля в нем.

По определению (3.13) емкость конденсатора С есть отношение заряда Q на его обкладках к напряжению между ними:

C=Q/U

При помощи равенств (3.18), (3.21) и (3.22) нетрудно получить следующее выражение для емкости пустого плоского конденсатора:

C = ₀S/d

Если плоский конденсатор заполнить диэлектриком с относительной проницаемостью _r, то его емкость увеличится в _r раз:

C = ₀ _r S/d=S/d (3.25)

3.6. Энергия заряженного проводника

Пусть некоторый изолированный проводник заряжен так, что потенци­ал принимает на его поверхности значение _S . Если емкость проводника равна С, то его заряд

Q = C_S. (3.26)

Перенесем из бесконечности на поверхность проводника дополнительный заряд dQ. При этом согласно (1.33) необходимо совершить работу

dA = _S dQ.

Совершенная работа приводит к увеличению энергии заряженного про­водника:

dA = dW = (1/C) Q dQ .

При изменении заряда на проводнике от нуля до значения Q проводник приобретает энергию

W = (1/C)

Интегрирование дает формулу

W = Q² /2C (3.27)

Эту формулу можно получить другим способом из формулы (1.48) для энергии системы зарядов. Потенциал во всех точках, где находятся заряды, т.е. на поверхности проводника принимает одно и то же значение _S . Поэтому

W = = =(1/2)_S Q