Уравнение непрерывности. Закон сохранения заряда

Рассмотрим некоторую замкнутую поверхность, через которую протекает электрический ток.

j=v,

j-плотность тока, v-скорость премещения зарядов

dI =Q/t=jdS - ток

dQ=dV –определение плотности зарядов

Поток вектора плотности тока через эту поверхность в единицу времени будет равен скорости убывания заряда.

Учитывая, что (интеграл от плотности заряда), получим соотношение:

.

Перейдём к частным производным, так как плотность заряда в общем случае зависит и от времени, и от координат:

Преобразуем левую часть выражения по теореме Остроградского-Гаусса:

.

Интегралы равны, значит равны и подынтегральные выражения:

(36)

Дивергенция, например, вектора v в координатном представлении

div v =

Выражение (36) – уравнение непрерывности. Оно выражает закон сохранения электрического заряда. В случае стационарного (постоянного тока) производная по времени равна нулю, следовательно, . То есть в случае постоянного тока вектор плотности не имеет источников, значит, линии тока нигде не начинаются, нигде не заканчиваются (они замкнуты).

Потенциал электростатического поля.

Энергия поля зарядов

Из механики известно, что .

В нашем случае заряд перемещается в поле заряда q из точки А в точку В.

(Рисунок).

Тогда можно записать

Криволинейный путь ab можно представить следующим образом.

(Рисунок)

На участке работа равна нулю, так как вектор силы перпендикулярен вектору перемещения.

На участке элементарная работа равна:

(16)

Откуда следует, что потенциальная энергия заряда в поле заряда q равна:

(17)

Потенциальная энергия, как и в механике, определяется не однозначно, а с точностью до производной константы C . Если принять, что при , , то . Тогда

(18)

Для одноимённых зарядов потенциальная энергия U положительна (отталкивание).

Для разноимённых зарядов потенциальная энергия U отрицательна (притяжение).

Если поле создаётся системой точечных зарядов, то вследствие принципа суперпозиции:

(19)

Из формул (18) и (19) вытекает, что отношение U к не зависит от поэтому и является энергетической характеристикой поля - потенциал.

(20)

Из формул (19) и (20) следует принцип суперпозиции для потенциала:

(21)

Из формул (18) и (20) следует, что потенциал поля, создаваемого точечным зарядами q будет:

(22)

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда из точки А в точку В, может быть представлена как

Если , то , следовательно можно записать , откуда (23)

Таким образом потенциал есть физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность.

[1 В] - потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1Кл обладает энергией в 1Дж.