Разработка математической модели (мм)

Математические схемы

Исходной информацией при построении математических моделей процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S.

Эта информация определяет основную цель моделирования системы S и позволяет сформулировать требования к разрабатываемой математической модели М. Причем уровень абстрагирования зависит от круга тех вопросов, на которые исследователь системы хочет получить ответ с помощью модели, и в какой-то степени определяет выбор математической схемы.

Введение понятия «математическая схема» позволяет рассматривать математику не как метод расчета, а как метод мышления, как средство формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания системы к формальному представлению процесса ее функционирования в виде некоторой математической модели (аналитической или имитационной).

При пользовании математической схемой исследователя системы S в первую очередь должен интересовать вопрос об адекватности отображения в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа (результата решения) на конкретный вопрос исследования.

Например, представление процесса функционирования информационно-вычислительной системы коллективного пользования в виде сети схем массового обслуживания дает возможность хорошо описать процессы, происходящие в системе, но при сложных законах распределения входящих потоков и потоков обслуживания не дает возможности получения результатов в явном виде.

Математическую схему можно определить как звено при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды, т. е. имеет место цепочка

«описательная модель → математическая схема → математическая (аналитическая или (и) имитационная) модель».

Каждая конкретная система S характеризуется набором свойств, под которыми понимаются величины, отражающие поведение моделируемого объекта (реальной системы) и учитывающие условия ее функционирования во взаимодействии с внешней средой (системой) Е.

При построении математической модели системы необходимо решить вопрос об ее полноте. Полнота модели регулируется в основном выбором границы «система S — среда Е». Также должна быть решена задача упрощения модели, которая помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные. Причем отнесение свойств системы к основным или второстепенным существенно зависит от цели моделирования системы (например, анализ вероятностно-временных характеристик процесса функционирования системы, синтез структуры системы и т. д.).

Формальная модель объекта

Модель объекта моделирования, т. е. системы S, можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества:

совокупность входных воздействий на систему

;

совокупность воздействий внешней среды

;

совокупность внутренних (собственных) параметров системы

;

совокупность выходных характеристик системы

.

При этом в перечисленных подмножествах можно выделить управляемые и неуправляемые переменные.

В общем случае являются элементами непересекающихся подмножеств и содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие.

При моделировании системы S входные воздействия, воздействия внешней среды Е и внутренние параметры системы являются независимыми переменными, которые в векторной форме имеют соответственно вид

а выходные характеристики системы являются зависимыми переменными и в векторной форме имеют вид .

Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором F_s, который в общем случае преобразует независимые переменные в зависимые в соответствии с соотношениями вида

(2.1)

Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени y_j(t) для всех видов называется выходной траекторией .

Зависимость (2.1) называется законом функционирования системы S и обозначается F_s.

В общем случае закон функционирования системы F_s может быт задан в виде: функции, функционала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия.

Весьма важным для описания и исследования системы S является понятие алгоритма функционирования A_s, под которым понимается метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий , воздействий внешней среды и собственных параметров системы .

Очевидно, что один и тот же закон функционирования F_s системы S может быть реализован различными способами, т. е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования A_s.

Соотношения (2.1) являются математическим описанием поведения объекта (системы) моделирования во времени t, т. е. отражают его динамические свойства. Поэтому математические модели такого вида принято называть динамическими моделями (системами).

Таким образом, под математической моделью объекта (реальной системы) понимают конечное подмножество переменных вместе с математическими связями между ними и характеристиками .

Если математическое описание объекта моделирования не содержит элементов случайности или они не учитываются, т. е. если можно считать, что в этом случае стохастические воздействия внешней среды и стохастические внутренние параметры отсутствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детерминированными входными воздействиями

.

Очевидно, что детерминированная модель является частным случаем стохастической модели.

Таким образом, создание ММ преследует две основные цели:

• дать формализованное описание структуры и процесса функционирования системы для однозначности их понимания;

• представить процесс функционирования в виде, допускающим аналитическое исследование системы.

Для определенных классов систем разработаны формализованные схемы и математические методы, которые позволяют описать функционирование системы, а в некоторых случаях - выполнить аналитическое исследование.

Схемами могут быть агрегативные системы и, стохастические сети, автоматы, сети Петри.

Таким образом, построение ММ предусматривает анализ КМ и исходных данных с целью выбора одной из подходящих формализованных схем.

Математическая модель представляет собой совокупность соотношений (уравнений, логических условий, операторов), определяющих характеристики процесса функционирования системы в зависимости от структуры системы, алгоритмов поведения, параметров системы, воздействий внешней среды, начальных условий и времени (в рамках степени приближения к действительности).

Агрегативная модель

В 1960-х годах было введено понятие класса моделей сложных систем, названных агрегативными.

Основным элементом построения таких моделей был кусочно-линейный агрегат (КЛА). Эти модели обладают рядом привлекательных свойств, позволяющих использовать их в рамках общей схемы исследования сложных систем. В работах отечественной научной школы интенсивно исследовались их структурные и поведенческие свойства, создана имитационная система АИС (агрегативная имитационная система), базирующаяся на понятии агрегативной модели.

Рассмотрим определения и конструкции, приведенные ниже, в форме, приближенной к их программной реализации.

КЛА относится к классу объектов, которые принято изображать в виде преобразователя (рис. 2.1), функционирующего во времени и способного воспринимать входные сигналы х со значениями из некоторого множества X, выдавать выходные сигналы у со значениями из множества Y и находиться в каждый момент времени в некотором состоянии z из множества Z.

Рис.2.1. Общий вид преобразователя

 Класс КЛА отличает специфика множеств X, Y, Z, допустимые формы входных и выходных сообщений (т. е. функций х (t) и у (t)), траекторий z(t), , а также способ преобразования входного сообщения в выходное. Отметим, что динамика КЛА носит “событийный” характер.

В КЛА могут происходить события двух видов: внутренние и внешние.

Внутренние заключаются в достижении траекторией КЛА некоторого подмножества состояний; внешние – в поступлении входного сигнала.

Между событиями состояние КЛА изменяется детерминированным образом. Каждому состоянию z ставится в соответствие величина, трактуемая как потенциальное время до наступления очередного внутреннего события. Состояние КЛА в момент t* – наступление события является случайным.

В момент t*, наступления внутреннего события,  выдается выходной сигнал у*, содержание которого зависит лишь от z*. В частности, выходной сигнал может быть и пустым, т. е. не выдаваться. После случайного скачка x (z) вновь определяется время до наступления внутреннего события.

Рассмотрим момент t** наступления внешнего события, связанного с поступлением входного сигнала. Тогда состояние КЛА в момент t** является случайным, зависящим лишь от х и z**. В момент t**, выдается выходной сигнал у **, содержание которого определяется х и z**.

Условимся считать, что если моменты наступления внешнего и внутреннего событий совпадают, то изменение состояния осуществляется в соответствии с правилом наступления внешнего события, т. е. входные сигналы имеют приоритет над внутренними событиями.

Таким образом, динамику КЛА можно представить в следующем виде.

Пусть в некоторый момент задано состояние КЛА. Тогда определяется время T(z), через которое совершается случайный скачок, и меняется состояние. Начиная с момента наступления события (внешнего или внутреннего), ситуация повторяется, и динамику КЛА можно описать в виде задания фазовой траектории изменения состояний z (t). Процесс функционирования КЛА полностью определяется изменениями, происходящими в особые моменты времени – моменты наступления событий (внешних или внутренних). Между особыми моментами состояние КЛА меняется детерминировано.

Опишем теперь КЛА более подробно. КЛА внешне имеет вид многополюсника с m входными клеммами и n выходными клеммами (рис.2.2). Отметим, что в общем случае для различных КЛА.

Рис.2.2. Кусочно-линейный агрегат

 Предположим, что в состав множеств X_i и Y_j включены и фиктивные элементы 0, наличие которых на входе или выходе КЛА означает отсутствие сигнала на соответствующей входной или выходной клемме.

Рассмотрим, на чем основана программная реализация агрегативных моделей.

Не фиктивными входными х_i или выходными y_j сигналами, а также состояниями z КЛА являются данные.

Данными считаются: элементарные данные; списки данных; массивы данных; структуры данных. Элементарными данными считаются целые числа, действительные числа, символьные переменные. Здесь термины “список”, “массив” употребляются в их обычном смысле. Понятие структуры данных соответствует дереву, на корнях которого размещены данные. Каждое данное имеет свое имя. Рассматриваемые данные хорошо отображают содержательные представления, существующие у исследователя относительно реальных объектов, и существенно облегчают процесс построения модели. Эти данные удобны как с математической, так и с программной точек зрения.

Пусть состояние z КЛА определено как некоторая структура данных. Тем самым фиксирован вид дерева, представляющего эту структуру.

Дерево базируется, в конечном счете, на элементарных данных. Обозначим через I_z элементарные данные, входящие в состояние z и имеющие тип целых чисел и символов, а через R_z , – элементарные данные, имеющие действительный тип. Предположим, что значения и состав элементарных данных могут меняться лишь в особые моменты времени, а между ними остаются постоянными. Разобьем множество R_z на два подмножества R =, где состоит из положительных величин, a – из неположительных. Будем считать, что данные из подмножества остаются неизменными между особыми моментами времени. Это отвечает обычно используемой “энергетической интерпретации” причин наступления внутренних событий в моменты, когда исчерпывается некоторый  ресурс,  заканчивается  операция  и  т.  д.  Таким  образом, внутреннее событие происходит, когда хотя бы один из положительных элементов множества обращается в нуль.

Выводы

Таким образом, математическое моделирование — это теоретико-экспериментальный метод познавательно-созидательной деятельности, исследования и объяснения явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе создания новых объектов - математических моделей.

Сущность моделирования заключается в том, что взаимосвязь исследуемых явлений и факторов передается в форме конкретных математических уравнений.

Процесс построения математической модели включает в себя следующие типовые этапы:

- определение целей моделирования;

- качественный анализ системы, исходя из этих целей;

- формулировка законов и правдоподобных гипотез относительно структуры системы, механизмов ее поведения в целом или отдельных частей;

- идентификация модели (определение ее параметров);

- верификация модели (проверка ее работоспособности и оценка степени адекватности реальной системе);

- исследование модели (анализ устойчивости ее решений, чувствительности к изменениям параметров и пр.) и эксперимент с ней.

Под математической моделью принято понимать совокупность соотношений (уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т.п.), определяющих характеристики состояний объекта моделирования, а через них и выходные значения – реакции, в зависимости от параметров объекта-оригинала, входных воздействий, начальных и граничных условий, а также времени.

Математическая модель, как правило, учитывает лишь те свойства (атрибуты) объекта-оригинала, которые отражают, определяют и представляют интерес с точки зрения целей и задач конкретного исследования. Следовательно, в зависимости от целей моделирования, при рассмотрении одного и того же объекта-оригинала с различных точек зрения и в различных аспектах, он может иметь различные математические описания и, как следствие, быть представлен различными математическими моделями.

Принимая во внимание изложенное выше, дадим наиболее общее, но в то же время строгое конструктивное определение математической модели, сформулированное П.Дж.Коэном.

Математическая модель — это формальная система, представляющая собой конечное собрание символов и совершенно строгих правил оперирования этими символами в совокупности с интерпретацией свойств определенного объекта некоторыми отношениями, символами или константами.