7. Принцип одномерности конечного решения

Смысл моделирования заключается в получении некоторого решения, в общем случае многомерного.

Пусть, например, {X} – множество решений, которое может быть получено с помощью модели, а x – некоторое определенное решение, принадлежащее этому множеству.

Тогда считается, что для всех x может быть задана функция: q(x), которая называется критерием (критерием качества, целевой функцией, функцией предпочтения, функцией полезности и т.п.), обладающая тем свойством, что если решение x₁ предпочтительнее x₂, то:

q(x₁) > q(x₂).

При этом выбор сводится к отысканию решения с наибольшим значением критериальной функции. Например, наиболее популярным критерием в статистике является степень отклонения расчетных значений от эмпирических данных, которая оценивается методом наименьших квадратов.

Однако на практике использование лишь одного критерия для сравнения степени предпочтительности решений оказывается неоправданным упрощением, т.к. сложный характер технических систем приводит к необходимости оценивать их не по одному, а по многим критериям, которые могут иметь различную природу и качественно отличаться друг от друга. В то же время, рискнем предположить, что, какова бы не была сложность моделируемой системы, конечное решение всегда можно (и должно) найти в виде некоторого значения на предварительно обозначенной шкале одного целевого критерия – в этом и состоит принцип одномерности конечного решения.

8. Принцип одномерности конечного решения тесно связан с принципом рекуррентного объяснения [Флейшман, 1982; Розенберг с соавт.,1999], который отражает иерархическую организацию моделей систем: свойства и решения, получаемые для подсистем каждого уровня, выводятся (объясняются), исходя из постулируемых свойств элементов нижестоящего уровня иерархии.

Многокритериальные задачи не имеют однозначного общего решения. Поэтому предлагается много способов придать многокритериальной задаче частный вид, допускающий единственное общее решение. Эти методы связаны, как правило, с условной максимизацией или сведением многокритериальной задачи к однокритериальной путем ввода суперкритерия.

Введем, например, суперкритерий q₀(x), как скалярную функцию векторного аргумента в пространстве решений:

q₀(x)= q₀((q₁(x), q₂(x), …, q_n(x)) .

Суперкритерий позволяет упорядочить частные решения по величине q₀, выделив тем самым наилучшие из них (в смысле этого критерия). Вид функции q₀ определяется тем, как конкретно мы представляем себе вклад каждого критерия в суперкритерий. Обычно используют аддитивные и мультипликативные функции:

.

Естественно, что для разных способов эти решения являются в общем случае различными. Поэтому едва ли не главное в решении многокритериальной задачи – обоснование данного вида ее постановки, которое делается чаще всего неформальными экспертными методами.

Альтернативой единственному обобщенному показателю является математический аппарат типа многокритериальной оптимизации – множества Парето и т.д.

Классификация моделей

Вопросам моделирования (в первую очередь, математического) посвящена обширная литература, однако составить строгую единую классификацию математических моделей, различающихся по назначению, используемой информации, технологии конструирования и т.п., достаточно сложно, хотя версии таких классификаций существуют.

Например, В.В.Налимов [1971] делит математические модели на два класса – теоретические (априорные) и описательные (апостериорные).

Можно перечислить и другие основания для классификации моделей:

• природа моделируемого объекта и уровень его детализации;

• используемый логический метод: дедукция (от общего к частному) или индукция (от частных, отдельных факторов к обобщающим);

• статический подход или анализ динамики временных рядов (последний, в свою очередь, может быть ретроспективным или носить прогнозный характер);

• используемая математическая парадигма (детерминированная и стохастическая).

Наконец, по целям исследования, технологии построения, характеру используемой информации и просто для удобства последующего изложения все методы математического моделирования можно разделить на четыре класса:

• аналитические (априорные);

• имитационные (априорно-апостериорные) модели;

• эмпирико-статистические (апостериорные) модели;

• модели, в которых в той или иной форме представлены идеи искусственного интеллекта (самоорганизация, эволюция, нейросетевые конструкции и т.д.).

Обобщим классификацию моделей.

Классификацию моделей проведем по следующим признакам.

1. По цели использования:

- дескриптивные (описательные);

- оптимизационные.

Примеры дескриптивных и оптимизационных моделей будут рассмотрены ниже.

2. По природе моделей:

- предметные (материальные):

- физические (копии), например, макет самолета;

- аналоговые (аналоги), например, маятник как аналог колебательного контура;

- символьные (знаковые):

- концептуальные (словесные);

- схемографические;

- математические;

- компьютерные.

3. По возможности представления работы системы во времени:

- статические;

- динамические.

Модель называется статической, если среди параметров, участвующих в ее описании, нет временного параметра. Статическая модель в каждый момент времени дает лишь "фотографию" системы, ее срез.

Пример. Закон Ньютона F = a∙m - это статическая модель движущейся с ускорением a материальной точки массой m. Эта модель не учитывает изменение ускорения от одной точки к другой.

Модель динамическая, если среди ее параметров есть временной параметр, т.е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.

Пример. Модель S = g∙t²/2 - динамическая модель пути при свободном падении тела.

4. В зависимости от времени:

- дискретные;

- непрерывные.

Модель дискретная, если она описывает поведение системы только в дискретные моменты времени.

Пример. Если рассматривать только t = 0, 1, 2, ..., 10 (сек), то модель S_t = g∙t²/2 или числовая последовательность S₀=0, S₁=g/2, S₂=2g, S₃=9g/2, …, S₁₀=50g может служить дискретной моделью движения свободно падающего тела.

Модель непрерывная, если она описывает поведение системы для всех моментов времени из некоторого промежутка времени.

Пример. Модель S = g∙t²/2, 0 < t < 100 непрерывна на промежутке времени (0…100).

5. По учёту случайностей:

- детерминированные,

- стохастические.

Модель детерминированная, если каждому входному набору параметров соответствует вполне определенный и однозначно определяемый набор выходных параметров, в противном случае - модель недетерминированная, т.е. стохастическая (вероятностная).

Пример. Приведенные выше физические модели - детерминированные. Если в модели S = g∙t²/2, мы учли бы случайный параметр - порыв ветра с силой p при падении тела, например, так: S(p) = g(p)t²/2, то получили бы стохастическую модель.

6. По целям исследования, технологии построения, характеру используемой информации:

- аналитические;

- имитационные;

- статистические;

- модели, в которых в той или иной форме представлены идеи искусственного интеллекта (самоорганизация, эволюция, нейросетевые конструкции и т.д.).

Аналитические модели – один из классов математического моделирования. При построении таких моделей исследователь сознательно отказывается от детального описания системы, оставляя лишь наиболее существенные, с его точки зрения, компоненты и связи между ними, и использует достаточно малое число правдоподобных гипотез о характере взаимодействия компонентов и структуры системы.

Аналитические модели служат, в основном, целям выявления, математического описания, анализа и объяснения свойств, присущих максимально широкому кругу систем.

Имитационные модели – также один из основных классов математического моделирования. Целью построения имитаций является максимальное приближение модели к конкретному техническому объекту и достижение максимальной точности его описания. Имитационные модели претендуют на выполнение как объяснительных, так и прогнозных функций, хотя выполнение первых для больших и сложных имитаций проблематично (для удачных имитационных моделей можно говорить лишь о косвенном подтверждении непротиворечивости положенных в их основу гипотез).

Имитационные модели реализуются на ЭВМ с использованием блочного принципа, позволяющего всю моделируемую систему разбить на ряд подсистем, связанных между собой незначительным числом обобщенных взаимодействий и допускающих самостоятельное моделирование с использованием своего собственного математического аппарата. Такой подход позволяет также достаточно просто конструировать, путем замены отдельных блоков, новые имитационные модели.

Статистические модели объединяют в себе практически все методы первичной обработки экспериментальной информации. Основная цель построения этих моделей состоит в следующем:

- упорядочение или агрегирование информации;

- поиск, количественная оценка и содержательная интерпретация причинно-следственных отношений между переменными системы;

- оценка достоверности и продуктивности различных гипотез о взаимном влиянии наблюдаемых явлений и воздействующих факторов;

- идентификация параметров расчетных уравнений различного назначения.

Часто статистические модели являются обоснованием подходов к построению моделей других типов (в первую очередь, имитационных).

Важным методологическим вопросом является определение характера зависимости между факторами и результативными показателями: функциональная она или стохастическая, прямая или обратная, линейная или нелинейная и т.д. Здесь используются теоретико-статистические критерии, практический опыт, а также способы сравнения параллельных и динамичных рядов, аналитических группировок исходной информации, графические методы и др.

Детерминированный анализ представляет собой методику исследования влияния факторов, связь которых с результативным показателем носит явно выраженный функциональный характер, т.е. когда результативный показатель представляется в виде произведения, частного или алгебраической суммы исходных факторов. В этих случаях исследователь сам берет на себя ответственность в том, что:

- причинно-следственная связь между изучаемыми явлениями действительно существует;

- эта связь носит именно постулируемый функциональный характер (аддитивный, мультипликативный, кратный или смешанный с заранее подобранными коэффициентами, отражающими субъективный опыт разработчика).

Стохастический анализ представляет собой обширный класс методов, опирающихся на теоретико-вероятностные представления, теоремы, критерии и методы параметрической и непараметрической статистики. Исходный объект в любой системе обработки данных – это эмпирический ряд наблюдений или выборка. Выборки, описывающие явления и процессы в системе, находятся во взаимосвязи, взаимозависимости и обусловленности. При этом каждое явление можно рассматривать и как причину, и как следствие. Одни выборки могут быть непосредственно связаны между собой, образуя подмножества сопряженных данных, другие могут соотноситься друг с другом косвенно.

На основе приведенной классификации можно выделить следующие виды моделирования:

- аналитическое;

- имитационное;

- статистическое.

Аналитическое моделирование связано с получением явных или неявных зависимостей между интересующими параметрами и расчетами по этим зависимостям.

Имитационное моделирование (поведенческое) – имитация работы объекта, т.е. развертывание его во времени.

Статистическое моделирование – многократное повторяющаяся имитация работы, с последующим определением усредненных значений параметров.

Покажем разницу между аналитическим, имитационным и статическим моделированием.

Предположим, что поставлена задача – оценить среднее время безотказной работы. Эксперимент заключается в том, что на испытание ставятся N объектов и испытания продолжаются время Т.

Если было бы известна плотность распределения оценки, то процесс моделирования сводился бы к расчету числовых значений. Это было бы аналитическое моделирование.

Обычно такой информации нет, и их приходится получать с помощью имитационного и статистического моделирования.

Моделируется процесс испытаний, например, факт появления отказа объекта (имитационное моделирование) и далее этот процесс многократно повторяется (статистическое моделирование).

При каждом повторе определяется оценка, квадрат отклонения этой оценки от истинного значения, статистические среднее время безотказной работы и среднеквадратическое отклонение.

При правильном применении, математический подход не отличается существенно от подхода, основанного на "традиционном здравом смысле". Математические методы просто более точны и в них используются более четкие формулировки и более широкий набор понятий. В конечном счете, они должны быть совместимы с обычными словесными рассуждениями, хотя, вероятно, идут дальше их. В тех случаях, когда установлено постоянное и удовлетворительно точное согласие между математической моделью и опытом, такая модель приобретает практическую ценность. Эта ценность может быть достаточно велика, вне зависимости от того, представляет ли сама модель чисто математический интерес.