Задачи для самостоятельного решения

Вычислить интегралы из примеров 3.18 и 3.23.

3.18. 3.19.

3.20. 3.21.

3.22. 3.23.

§ 4. Интегралы и

Рассмотрим вначале интеграл Выделим полный квадрат в знаменателе подынтегральной дроби:

Обозначим через D дискриминант квадратного трехчлена,

Если D < 0, то

.

Сделаем замену переменной . Тогда

Если D > 0, то

,

и тогда

Рассмотрим теперь интеграл

Если сделать замену то мы видим, что при A = 2a, B = b мы имели бы

Если это не так, то мы сведем вычисление интеграла I к вычислению такого интеграла и интеграла , рассмотренного выше. Подберем числа M и N так, чтобы для всех x выполнялось Ax + B = M(2ax + b) + N. Легко видеть, что Таким образом,

Первый интеграл в правой части равен ln а второй – это интеграл .

Рассмотрим интеграл

Выделим под корнем полный квадрат и перепишем интеграл в виде

Пусть a > 0. Сделаем замену переменной тогда получим

Если a < 0, то –a > 0 и мы получаем

,

Если D < 0, то под корнем – отрицательная величина. Следовательно, при a < 0 необходимо выполняется . Полагая (k > 0), получаем

Для интеграла

подбираем, как мы это делали ранее, числа M и N таким образом, чтобы выполнялось Ax + B = M(2ax + b) + N. Тогда интеграл I запишется в виде

.

Первый интеграл берется заменой

Второй интеграл – это интеграл , рассмотренный выше.

Замечание. В интеграле

можно сразу выделить полный квадрат и сделать замену переменной и получить

.

Первый интеграл равен Второй зависит от знака D. Если D < 0, то, полагая (k > 0), имеем

Если D > 0, то полагая ( > 0), получим

Аналогично можно рассмотреть интеграл

Рассмотрим примеры.

1. 

Решение. Так как d(2x² – 3x + 3) = (4x – 3)dx, то подберем числа M и N из условия x + 2 = M(4x – 3) + N. Тогда M = 1/4, 2 + 3/4 = N = 11/4. Отсюда следует

2. 

Решение. Выделим полный квадрат в знаменателе и сделаем замену переменных:

3. 

Решение. Если положить 5 + x – x² = t то dt = (–2x + 1)dx. Найдем числа M и N из равенства x = M(–2x + 1) + N. Получаем M = –1/2, N = 1/2. Тогда

4. 

Решение. Выделим под корнем полный квадрат и сделаем замену переменной:

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить интегралы из примеров 4.5 – 4.10.

5. 4.6.

4.7. 4.8.

4.9. 4.10.

§ 5. Интегрирование рациональных функций

Рациональной функцией называется функция вида где P(x) и Q(x) – многочлены. Если степень многочлена P меньше степени Q, то функция называется правильной рациональной дробью. Интегрирование рациональной функции производится по следующей схеме.

1. если степень P больше или равна степени Q, то надо выделить целую часть, т.е. представить дробь в виде

,

где L и R – многочлены, причем степень R строго меньше степени Q. Это можно сделать, поделив P на Q «столбиком», как делят числа.

2. разложить знаменатель Q на простейшие действительные множители

Q(x) = ,

причем участвующие в разложении двучлены и трехчлены различны и трехчлены не имеют действительных корней.

3. Правильную рациональную дробь представить в виде суммы простых дробей

,

где  – некоторые действительные постоянные, подлежащие определению. Для их нахождения дроби в правой части равенства приводят к общему знаменателю и затем приравнивают R(x) к числителю получившейся дроби. Известно, что если два многочлена равны, то коэффициенты при одинаковых степенях переменной также равны. Приравняв коэффициенты, получаем систему линейных уравнений, в которой уравнений столько же, сколько и неизвестных. Решая систему (например, методом Гаусса), находим неизвестные коэффициенты. Можно находить коэффициенты, придавая переменной x конкретные значения, получая тем самым уравнения для коэффициентов. Часто, придавая переменной специально подобранные значения, сразу получаем некоторые коэффициенты. Иногда это позволяет найти все коэффициенты, иногда – часть их. Можно подстановкой найти часть коэффициентов, а для оставшихся получится система уравнений с меньшим числом уравнений.

4. После нахождения коэффициентов для интегрирования дроби остается найти интегралы от дробей следующего вида:

Первые две дроби дают табличные интегралы. Интегрирование третьей дроби разобрано в предыдущем параграфе. Интегрирование четвертой дроби после замены переменной сводится к вычислению уже разобранных интегралов. Действительно,

Первый интеграл разобран в примере 2.6, второй – в примере 3.12.

Замечание. При разложении правильной рациональной дроби на простейшие часто встречаются следующие разложения:

Рассмотрим примеры.

1. 

Решение. Поскольку степень числителя больше степени знаменателя, вначале поделим числитель на знаменатель «столбиком»:

_

_

Таким образом,

Учитывая, что правильную рациональную дробь представим в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами:

Приведя дроби в правой части к общему знаменателю и приравняв затем числители, получаем

Полагаем x = 0. Тогда 3 = –6A, A = –1/2. Положим далее x = 3. Тогда 63 + 24 + 3 = 90 = 15B, B = 6. Полагая, наконец, x = – 2, находим 15 = 10 С, С = 3/2. Таким образом,

2. 

Решение. В этом примере степень числителя меньше степени знаменателя. Поэтому сразу записываем подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами:

Приводим дроби в правой части к общему знаменателю и затем приравниваем числители дробей:

Полагаем x = –3. Тогда получается C = 13. Полагаем далее x = –2 и находим A = 7. Чтобы найти недостающий коэффициент B, можно положить x = 0. Тогда 1 = 3A + 6B + 4C и, следовательно, 6B = –72, B = –12. Можно было бы для нахождения B приравнять коэффициенты многочленов при старшей степени x – при x²: 1 = B + C, откуда B = 1 – C = = –12. Таким образом,

3. 

Решение. Представляем подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:

Приводим дроби в правой части к общему знаменателю и приравниваем после этого числители получившихся дробей:

или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной, получаем систему уравнений

х : 1 = ,

1 : –1= .

Решая эту систему, например, методом Гаусса, находим коэффициенты A = –2, B = 1, C = –1, D = 1.

Вычисляем интеграл

4. 

Решение. Представляем подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:

Приводя дроби в правой части к общему знаменателю и приравнивая затем числители, получаем

Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях переменной, получаем систему уравнений

,

.

Решая систему, находим

.

Вычисляем интеграл

Используя результаты вычислений в примерах 2.6 и 3.12, заканчиваем вычисление интеграла