Глава 1 неопределенные интегралы

§ 1. Непосредственное интегрирование

Пусть на интервале (a, b) определена некоторая функция f(x). Тогда функция F(x), определенная так же на (a, b), называется первообразной функции f(x), если F(x) = f(x) для x (a, b). Например, функция F(x) = = sin 3x – первообразная функции f(x) = 3 cos 3x, а F(x) = x³+3 – первообразная f(x) = 3x². Известно, что все первообразные одной функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Отсюда следует, что если F(x) – некоторая первообразная функции f(x), то любая другая первообразная Φ(x) имеет вид Φ(х) = F(x) + C, где C – постоянная, зависящая только от Φ.

Неопределенным интегралом (НИ) от функции f(x) называется множество всех первообразных функции f. Обозначается НИ от f следующим образом: . Таким образом,

Обычно, следуя традиции, пишут просто

Переменная x называется переменной интегрирования, f(x) называется подынтегральной функцией, f(x) dx – подынтегральным выражением. Процесс нахождения неопределенного интеграла от функции f(x) называется интегрированием функции f. Принято говорить также: «Взять интеграл ».

Вычисление НИ есть в определенном смысле операция, обратная к нахождению дифференциала функции. Действительно, пусть F(x) –первообразная функции f(x). Тогда = d(F(x) + C) = F’(x)dx = = f(x)dx. С другой стороны,

= = = F(x) + C.

Отсюда вытекает, что из таблицы производных основных элементарных функций можно получить таблицу интегралов от основных элементарных функций. Эти интегралы называются табличными. Приведем здесь таблицу этих интегралов.

Вычисление НИ в основном заключается в сведении его к табличному интегралу. Достигается это с помощью свойства линейности НИ, а также с помощью некоторых приемов, о которых речь будет ниже. Необходимо отметить, что в то время как, используя правила дифференцирования, можно вычислить производную любой элементарной функции, и эта производная снова будет элементарной функцией, неопределенный интеграл от элементарной функции может оказаться неэлементарной функцией. В этом случае говорят, что интеграл «не берется» и называют его «неберущимся». Таковы, например, интегралы и др. В связи с этим становится очевидным, что необходимо хорошо знать основные классы функций, для которых НИ являются элементарными функциями («берущиеся» интегралы), и, решая примеры, хорошо освоить основные методы интегрирования.