11. 2. Распределение Бозе - Эйнштейна для фотонного газа

Равновесное тепловое излучение в замкнутой полости представляет собой совокупность стоячих электромагнитных волн с дискретными частотами.

Попытки теоретически объяснить наблюдаемое распределение спектральной плотности излучения по частотам с классической точки зрения оказались несостоятельными и породили так называемую «проблему теплового излучения».

В 1900 г. она была решена Планком путем введения в процесс взаимодействия излучения с веществом идеи квантования.

Эйнштейн сделал следующий шаг. Он предположил, и это подтвердилось экспериментом, что само излучение представляет собой фотонный газ, газ идеальный.

У фотонов спин равен единице. Значит это бозоны, а они подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна.

Число фотонов в полости не сохраняется, оно зависит от температуры. А для систем с переменным числом бозонов химический потенциал  = 0, и функция (3) принимает вид (5), т.е.

.

Для фотонов  = h и р=h/c, поэтому число квантовых состояний (фазовых ячеек) в интервале частот (, +d) в расче­те на единицу объема фотонного газа равно согласно (7)

.

Рис. 7 и рис. 8. представле­ны графики функций f и dZ/d для фотонного газа Следует обратить внимание на то, что обе функции ведут себя с ростом частоты  взаимно проти­воположно:

f убывает, a dZ/d растет.

В соответствии с формулой (8) число фотонов с частотами в интервале (,  + d) равно .

Коэффициент 2

• появился в связи с двумя независимыми поляризациями излучения во взаимно перпендикулярных плоскостях.

• Другими словами, он указывает на две возможные попе­речные поляризации фотона. Напомним, что в случае электронов этот коэффициент учитывал две возможные «ориентации» спина электрона.

рис.9. График распределения фотонов по частотам, т.е. dn/d.

Площадь под кривой равна полному числу n фотонов в расчете на единицу объёма фотонного газа.

Теперь перейдем к спектральной плотности энергии излуче­ния (фотонного газа): u_ = du/d, где du = h dn.

В результате получим: . (17)

Это знаменитая формула Планка.

Её открытие и интерпретация положили начало созданию квантовой физики. График этой зависимости от частоты  пока­зан на рис.10.

При переходе от  и h к цикличе­ской частоте  = 2 и надо учесть, что u_d = u_d.

Тогда фор­мула Планка приобретает вид:

.

Вернемся к формуле (17), графики которой при разных температурах представлены

на рис. 10, где T < Т₂ < Т₃.

Пло­щадь под каждой из этих кривых равна полной плотности энер­гии u при соответствующей температуре.

Выясним, как эта ве­личина зависит от Т. Для этого представим (17) в виде:

u = ,

где F — функция, вид которой до открытия Планка был неизве­стен.

В таком виде формула была получена Вином и получила название формулы Вина. Тогда:

u= ,

здесь введена новая временная х = /T.

Последний интеграл представляет собой некоторую постоянную a , и мы приходим к выводу, что

u=aТ .Закон Стефана-Больцмана.

Вместо плотности энергии излучения u удобнее пользоваться понятием энергетической све­тимости R, которая выражает поток энергии излучения с единицы поверхности по всем направлениям в пределах телесного угла 2. Можно показать, что обе эти величины связаны соотношением

Тогда . Эта формула и выражает закон Стефана-Больцмана.

Здесь  - постоянная Стефана-Больцмана.

С помощью формулы Планка можно найти ее зависимость от постоянных с, h, k и ее числовое значение:

 = 5.6710 Вт/(м K )

Если в стенках полости с равновесным тепловым излучением (фотонным газом) сделать небольшое отверстие, то можно экспериментально исследовать спектральный состав выходящего через это отверстие излучения. Это было проделано для разных температур полости. Результаты оказались в прекрасном соответствии с формулой Планка и законом Стефана-Больцмана.

Закон смещения Вина.

При теоретических исследованиях спектральный состав излучения удобнее характеризовать по ча­стотам, в экспериментальных же - по длинам волн.

Имея в виду соотношение u_d =-u d, и  = с/, запишем:

u = - u = F(λT) = .

Наличие знака минус в исходной формуле связано с тем, что с ростом частоты (d>0) длина волны уменьшается ( ).

Найдем теперь длину волны _т, соответствующую максимуму функции

Это значит, надо решить уравнение

Выражение в скобках есть некоторая функция Ф(Т).

При длине волны _т соответствующей максимуму функции u , функ­ция Ф(Т) должна обратиться в нуль: Ф(_тТ) = 0. Решение последнего уравнения приводит к некоторому значению b величи­ны _тТ .

Таким образом, можно записать, что T_т=b . Это и есть закон смещения Вина.

Значение постоянной b можно найти экспериментально или с помощью формулы Планка:b=0,29 смK .

С ростом температуры длина волны _т уменьшается, а значит, частота _m увеличивается, как показано на рис. 10.

Заметим только, что _m  с/_т , по­скольку _m соответствует распределению по частотам, а _т - по длинам волн.

С помощью закона смещения Вина легко определить температуру Т электромагнитного излучения (или его источника), спектр которого соответствует формуле Планка.

Так находят, например, температуру звезд.