7. Последовательное соединение конденсаторов.

Рис . 6. Последовательное соединение конденсаторов. 1/С = 1/С1 + 1/С2.

У последовательно соединенных конденсаторов заряды всех обкладок равны по модулю, а разности потенциалов на зажимах батареи Dj = SDj_i, где для любого из рассматриваемых конденсаторов Dj = Q/C. С другой стороны,

Dj = Q/C = Q/SC_i откуда 1/C = S(1/C_i),

т.е. при последовательном соединении конденсаторов суммируются величины, обратные емкостям.

В радиотехнике широкое распространение получали конденсаторы переменной ёмкости. Такой конденсатор состоит из двух систем металлических пластин, которые при вращении рукояти могут входить одна в другую.

8. Применение конденсаторов

Энергия конденсаторов обычно не очень велика – не более сотен джоулей. К тому же она не сохраняется долго из-за неизбежной утечки заряда. Поэтому заряженные конденсаторы не могут заменить, например, аккумуляторы в качестве источников электрической энергии. Они имеют одно важное свойство: конденсаторы могут накапливать энергию более или менее длительное время, а при разрядке через цепь малого сопротивления они отдают энергию практически мгновенно. Именно это свойство нашло широкое применение на практике.

9. Энергия системы зарядов, уединенного проводника и конденсатора. Энергия электростатического поля.

а. Энергия системы неподвижных точечных зарядов.

Рассмотрим потенциальную энергию двух неподвижных точечных зарядов q₁ и q₂, находящихся на расстоянии r друг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией: W₁ = Q₁j₁₂ и W₂ = Q₂j₁₂,

где j₁₂ и j₂₁ – cоответственно, потенциалы, создаваемые зарядом Q₂ в точке нахождения заряда Q₁ и зарядом Q₁ в точке нахождения заряда Q₂: j₁₂ = (1/4pe₀)(Q₂/r) и

j₂₁ = (1/4pe₀)(Q₁/r), поэтому W₁=W₂= W и

W = Q₁j₁₂ = Q₂j₂₁ = 1/2(Q₁j₁₂ + Q₂j₂₁).

Добавляя к системе из двух зарядов последовательно заряды Q₃, Q₄, ..., можно убедиться в том, что в случае n неподвижных зарядов, энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна W = 1/2(SQ_ij_i). где j_i - потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Q_i, всеми зарядами, кроме i - го.

б. Энергия заряженного уединенного проводника.

Если имеется уединенный проводник, заряд, емкость и потенциал которого соответственно равны Q, C и j. Увеличим заряд этого проводника на dQ. Для этого необходимо перенести заряд dQ из бесконечности на уединенный проводник, затратив на это работу, равную: dA = jdQ = Cjdj.

Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до j₁, необходимо совершить работу: А = ₁ò²Сjdj = Cj²/2.

Энергия заряженного проводника равна той работе, которую необходимо совершить, чтобы зарядить этот проводник:

W = Cj²/2 = Qj/2 = Q²/(2C).

в. Энергия заряженного конденсатора.

Как и всякий заряженный проводник, конденсатор обладает энергией, которая равна:

W = C(Dj² )/2 = Q(Dj)/2 = Q²/(2C),

где Q - заряд конденсатора, С - его емкость, Dj - разность потенциалов между обкладками. Отсюда можно найти механическую (пандеромоторную) силу, с которой пластины конденсатора притягиваются друг к другу.

Для этого предположим, что расстояние между пластинами (х) меняется на величину dx. Тогда действующая сила совершает работу: dA =Fdx, вследствие уменьшения потенциальной энергии системы Fdx = - dW, откуда

F = - dW/dx. Зная что,

W = Q²/2C = Q²x/(2e₀eS). Произведя дифференцирование при конкретном значении энергии, найдем искомую силу:

F = - dW/dx = - Q²/(2e₀eS),

где знак минус указывает, что сила F является силой притяжения.

г. Энергия электростатического поля.

Преобразуем формулу, выражающую энергия плоского конденсатора посредством зарядов и потенциалов, воспользовавшись выражением для емкости плоского конденсатора (С = e₀eS/d) и разности потенциалов между его обкладками (Dj = Ed). Тогда

W = (e₀eE²Sd)/2 = (e₀eE²V)/2,

где V - объем конденсатора. Эта формула показывает, что энергия конденсатора выражается через величину силовой характеристики электростатического поля (напряженность Е). Объемная плотность энергии электростатического поля

w = W/V = (e₀eE²)/2 = ED/2.

Контрольные вопросы

1. Что такое диэлектрики?

2. Какие существуют типы диэлектриков и чем они отличаются?

3. Как происходит поляризация диэлектриков?

4. Что такое поляризованность?

5. Что такое электрическое смещение?

6. Записать и объяснить теорему Гаусса для поля в диэлектрике?

7. Что такое электрическая емкость проводника и чем она определяется?

8. Что такое конденсатор и какие существуют типы конденсаторов?

9. Что такое батарея конденсаторов и чему равна емкость батареи?

10. Как вычислить энергию конденсатора?

11. Чему равна энергия электростатического поля?

12. Как определяется заряд, напряжение и эквивалентная электроемкость при последовательном и параллельном соединении конденсаторов?

13. Что такое баллистическая постоянная и как экспериментально ее определить?

Лабораторная работа 15-1

ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОЕМКОСТИ КОНДЕНСАТОРОВ

Цель работы: Ознакомление с работой электро измерительного прибора магнитоэлектрической системы в баллистическом режиме. Измерение емкости конденсаторов. Изучение параллельного и последовательного соединений конденсаторов.

Приборы и принадлежности: установка для измерения емкости конденсатора.

Основные Формулы.

Баллистическая постоянная:

A_б = (C_ЭU_Э)/n_Э. (1).

C_х = (A_бn_х)/U_х. (2).

(при последовательном соединении) С_сум.=(С₁С₂)/(С₁+С₂). (3),

(при параллельном соединении)

С_сум.=(С₁+С₂). (4).

Формулы рассчета погрешностей измерений.

∆A_б = √[(U_Э/n_Э)∆C_э]²+[(C_э/n_э)∆U_э]²+[(С_эU_э)∆n_Э/n_э²]² (1а).

∆C_х = √[(n_Э/U_Э)∆A_b]²+[(A_b/U_э)∆n_э]²+[(A_bn_э)∆U_Э/U_э²]² (2a).

(при параллельном соединении)

∆С_сум. = ∆С_х√2. (3a),

(при последовательном соединении)

∆С_сум. = ∆С/(С₁ + С₂)√(С₁² + С₂²). (4a).

Где ∆С_э=ω/2, ∆U_э = ω/2, ∆n_э = ω/2 погрешности измерения C_э, ∆U_э и ∆п_э,

.соответственно, а ω – цены делений шкал измерительных приборов.Электроемкость измеряется в фарадах 1Ф=1Кл/1В).

Экспериментальная установка

Для нахождения величины электроемкости нужно измерить заряд и напряжение на обкладках конденсатора.

Используемая в работе измерительная установка состоит из двух блоков:

В блоке 1 находятся выпрямитель и конденсаторы с неизвестной емкостью Сх₁, Сх₂, Сх₃, Сх₄, Сх₅. На лицевой грани блока размещены вольтметр V, регулятор Р выходного напряжения выпрямителя, переключатели П₁ и П₂, клеммы U и C_х. На верхней грани блока находится группа ключей К.

В блоке 2 находится эталонный конденсатор с известной емкостью Сэ = 5 мкФ. На передней панели блока расположены микроамперметр, переключатели П₃, П₄, П₅ и клеммы U и Сх. Клеммы U блока 1 соединены проводниками с клеммами U блока 2. Так же соединены клеммы Сх.

Принципиальная электрическая схема измерительной установки представлена ниже.

Рис. 3.

Методика и техника эксперимента

В качестве источника тока в установке используется выпрямитель В. Регулятор Р (потенциометр) позволяет изменять напряжение, подаваемое на конденсатор. Величина напряжения измеряется вольтметром. Сэ – эталонный конденсатор, С_Х – конденсатор неизвестной емкости или батарея конденсаторов.

Для работы с эталонным конденсатором переключатель П₃ ставится в положение Сэ, Для работы с конденсатором неизвестной емкости – переводится в положение Сх. Переключатель П₄ также имеет два положения:

1) в положении «Заряд» происходит зарядка эталонного конденсатора Сэ или изучаемого конденсатора Сх;

2) в положении «Разряд» заряд с обкладок конденсатора в течение очень короткого промежутка времени проходит через микроамперметр, вызывая отклонение его стрелки.

В обычном, так называемом динамическом режиме, электроизмерительный прибор магнито-электрической системы (в данном случае микроамперметр) измеряет силу проходящего через него тока. Если же через этот прибор пропустить кратковременный импульс тока, то вследствие инертности, подвижная система прибора (рамка со стрелкой) за время протекания тока не успевает сдвинуться с места, но в результате полученного толчка в дальнейшем она поворачивается на некоторый угол. При этом стрелка прибора отклоняется (отбрасывается) на n делений шкалы.

Как показывают опыт и расчеты, величина заряда q, прошедшего через микроамперметр, и величина отброса стрелки n пропорциональны друг другу:

q = А_б·n (2)

Режим, в котором работает измерительный прибор при протекании через него кратковременного тока, называется баллистическим, а величина А_б – баллистической постоянной прибора.

А_б = (3)

Баллистическая постоянная в системе СИ измеряется в Кл/деление. В работе баллистическую постоянную микроамперметра определяют, разряжая через него эталонный конденсатор С_Э (заряженный предварительно до напряжения Uэ) и измеряя величину максимального отброса стрелки прибора nэ. При этом заряд q, находившийся на обкладках конденсатора Сэ, равный

qэ = Сэ · Uэ (4)

пройдет через микроамперметр. В соответствие с формулой (2)

qэ = А_б · nэ (5)

из (4) и (5) получим выражение для определения баллистической постоянной:

(6)

Емкости изучаемых конденсаторов определяют следующим образом. Переключатель П₄ переводят в положение С_Х, измеряют величину отброса стрелки прибора n_х.

В соответствии с формулами (1) и (2)

С_х = q_х = А_б· n_х

Получаем формулу:

(7)

Порядок выполнения работы

Задание I. Определение баллистической постоянной

1. Ознакомиться со схемой установки. Включить установку в сеть.

2. Нажать клавишу 7 переключателя П2.

3. Переключатель П5 поставить в положение Uвнешн., переключатель П3 в положение Сэ.

4. Регулятором Р установить напряжение U = 1 В. В процессе выполнения работы следует следить, чтобы установленное напряжение не изменялось самопроизвольно, при необходимости нужно сделать его корректировку.

5. Переключатель П4 поставить в положение «Заряд».

6. Замкнуть обкладки конденсатора через микроамперметр, переведя П4 в положение «Разряд» и определить величину отброса стрелки микроамперметра nэ. Измерения повторить 3 раза и результаты занести в таблицу 1.

7. Все действия, указанные в пунктах 4-6, выполнить для напряжений Uэ = 2 В и Uэ = 3 В.

8. Результаты измерений также занести в таблицу 1.

9. Для каждого значения напряжения U_э рассчитать по формуле (6) баллистическую постоянную А_б. Найти среднее значение _б.

Таблица 1

№	Uэ, В	nэ, дел	э, дел	Cэ, мкФ	Аб, Кл/дел	б, Кл/дел
1	1
2	2			5
3	3

Задание II. Определение емкостей исследуемых конденсаторов

1. Включить в схему исследуемую электроемкость, поставив переключатель П3 в положение Сх.

2. Ключи К (2 ,3, 4, 5) поставить в положение «Выключено».

3. Нажать клавишу 9 переключателя П2, соединив обкладки конденсаторов Сх₁ - Сх₅.

4. Переключатель П1 поставить в положение 1.

5. Регулятором Р установить напряжение U_х = 3 В.

6. Зарядить конденсатор Сх, поставив переключатель П4 в положение «Заряд».

7. Замкнуть обкладки конденсатора через микроамперметр, переведя П4 в положение «Разряд» и определить величину отброса стрелки nх.

8. Повторить измерения 3 раза. Результаты занести в таблицу 2.

9. Для измерения емкостей конденсаторов Сх₂, Сх₃ следует переводить П₁ в положения 2 и 3, и, заряжая и разряжая конденсаторы, определять соответствующие отбросы стрелки микроамперметра nх₂ и nх₃. Результаты измерений записать в таблицу 2.

10. Для каждого кондесатора рассчитать по формуле (7) его электроемкость.

Таблица 2

Исследуемый конденсатор	Uх, дел	nх, дел	х, дел	Cх, мкФ
Сх1	3
Сх2
Сх3

Задание III. Определение емкости батареи параллельно соединенных конденсаторов

1. Клавишу 9 переключателя П2 оставить в положении «Включено». Включить в схему конденсатор Сх₁, переведя переключатель П1 в положение 1.

2. Включить ключ К2 (остальные ключи оставить в положении «Выключено»), соединив параллельно конденсаторы Сх₁ и Сх₂.

3. Регулятором Р установить напряжение U_х = 2 В.

4. Заряжая и разряжая батарею конденсаторов при помощи переключателя П4, измерить величину отброса стрелки микроамперметра nх. Измерения повторить 3 раза, результаты записать в таблицу 3.

5. Расчитать по формуле (7) эквивалентную электроемкость батареи.

6. Включить ключ К3 (ключ К2 оставить включенным), составив батарею из трех параллельно соединенных конденсаторов Сх₁, Сх₂.и Сх₃. Определить их эквивалентную электроемкость, выполняя опрерации в соответствии с пунктами 4-5.

7. Результаты измерений записать в таблицу 3.

8. Вычислить теоретическое значение эквивалентной емкости каждой батареи по формуле: Спарал = С1 + С2 + ... + Сn. (где C1, C2, … Cn – емкости конденсаторов, определенные опытным путем).

Таблица 3

Состав батареи конденсаторов	Uх, В	nх, дел	х, дел	Cх, бат, мкФ эксперим.	Cх, бат, мкФ теор.
Сх1, Сх2	2
Сх1, Сх2, Сх3

Задание IV. Измерение емкости последовательно соединенных конденсаторов

1. Выключить ключи К₂ – К₄, предназначенные для параллельного соединения конденсаторов.

2. Нажать клавишу 8 переключателя П2, соединив обкладки конденсаторов.

3. Переключатель П1 поставить в положение 2.

4. Регулятором Р установить напряжение U_х = 5 В.

5. При помощи переключателя П4, заряжая и разряжая батарею, определять величину отброса стрелки микроамперметра nх. Измерения повторить 3 раза, результаты записать в таблицу 4.

6. Расчитать по формуле (7) эквивалентную электроемкость батареи.

7. Для измерения емкости трех последовательно соединенных конденсаторов переключатель П1 перевести в положение 3. Определить их эквивалентную электроемкость, выполняя опрерации в соответствии с пунктами 5-6.

8. Результаты измерений записать в таблицу 4.

9. Закончив измерения, нажать на клавишу 6 переключателя П2 и выключить установку из сети.

10.Вычислить теоретическое значение эквивалентной емкости каждой батареи по формуле: 1/C_посл. = 1/C₁ + 1/C₂ +…+ 1/C_n.

11.Сделать вывод о проделанной работе.

Таблица 4

Состав батареи конденсаторов	Uх, В	nх, дел	х, дел	Cх, бат, мкФ эксперим.	Cх, бат, мкФ теор.
Сх1, Сх2	5
Сх1, Сх2, Сх3