Розв’язання.

Перш за все треба з’ясувати доход фірми, який складається з двох частин: продажу на внутрішньому ринку: R₁ = P₁Q₁ = (500 - Q₁)Q₁ = 500Q₁ - Q₁² та експортних поставок:

R₂ = P₂ Q₂ = (360 - 1,5 Q₂)Q₂ = 360Q₂ - 1,5Q₂²

(в обох випадках ціна береться з відповідних кривих попиту) Тому сумарний доход становитиме:

R = R₁ + R₂ = 500Q₁ - Q₁² +360Q₂ - 1,5Q₂²

Обчислимо прибуток фірми

S(Q₁,Q₂ ) = R – C = (500Q₁ - Q₁² + 360Q₂ - 1,5Q₂² ) - (50 000 + 20Q₁ + 20Q₂ ) = 480Q₁ - Q₁² + 340Q₂ - 1,5Q₂² - 50 000

Дослідимо отриману функцію на максимум.

Обчислимо частинні похідні першого порядку .

(Q₁, Q₂) = 480 - 2Q₁ ; (Q₁, Q₂) = 340 - 3Q₂

Прирівнявши знайдені частинні похідні до нуля і розв’язавши отриману систему рівнянь знайдемо стаціонарні точки (Q₁,Q₂)

Q₁ = 240 ; Q₂ = .

Обчислимо частинні похідні другого порядку.

 0; = 0;  0;

і перевіримо знак виразу: =  0

Отже можна зробити висновок, що в стаціонарній точці має місце максимум.

Для того, щоб відповісти на питання про оптимальну цінову політику фірми, підставимо координати точки максимуму в рівняння попиту Р₁ = 500 - Q₁ = 500 – 240 = 260

P₂ = 360 - 1,5Q₂ = 360 - 1,5340/3 = 190

Підставивши значення Q₁ і Q₂ в функцію прибутку знайдемо максимальний прибуток при оптимальних об’ємах продаж на внутрішньому та зовнішньому ринках S(240,340/3) = 480 240 - 240²+340 340/3 - 1,5 (340/3)² - 50 000 = =26866,67

§2. Найбільше та найменше значення функції.

При знаходженні найбільшого та найменшого значення (тобто глобального максимуму та мінімуму) функції багатьох змінних, неперервної на деякій замкненій множині, слід пам’ятати, що такі значення можуть досягатись або в точках екстремуму або на границі множини.

Зауваження: Множина називається замкнутою, якщо вона містить всі свої граничні точки, тобто точки, в окіл яких входять як точки що належать множині, так і точки, що не належать їй.

Наприклад: Знайти найбільше та найменше значення функції на колі r = 1 з центром в початку системи координат.

Розв’язання

1) Обчислимо частинні похідні ;

2). Обчислимо стаціонарні (критичні) точки з системи

Отже стаціонарна точка О (0; 0);

3). Знайдемо критичні точки функції на границі області – колі , підставивши це значення в умову отримаємо функцію однієї змінної

, де

Знайдемо , та критичні точки де чи не існує Отримаємо ;

4).Знайдемо значення функції в критичних та граничних точках у ; ; ;

У

0 Х

Виділимо серед знайдених значень найбільше та найменше

- точка найбільшого значення

- точки найменшого значення

Для опуклих функцій процес знаходження екстремальних точок значно спрощується.

Зауваження: Підмножина n - вимірного простору називається опуклою, якщо для будь яких двох точок і таких що ; , відрізок .

А

А

В

В

Опукла множина Не опукла (вгнута) множина

Означення: Функція задана на опуклій множині D називається опуклою вниз, якщо для будь яких двох точок та



і опуклою вгору, якщо



Наприклад. Графік функції опуклої вниз

Z

Y

X

Очевидно, що опукла функція не може мати сідлових точок, а це означатиме, що:

Для опуклої функції рівність нулю всіх її частинних похідних є не тільки необхідною, але й достатньою умовою екстремуму.

Більш того екстремум опуклої функції є глобальним, тобто є найменшим значенням в разі функції опуклої вниз та найбільшим значенням в разі функції опуклої вгору.

Задача обчислення екстремумів функції багатьох змінних значно складніша аналогічної задачі для функції однієї змінної. Навіть в самих простих випадках суто технічні проблеми можуть призвести до значних труднощів. Задачами знаходжень подібних екстремумів присвячено спеціальний розділ математики – варіаційне числення. В останні десятиріччя бурного розвитку набула комплексна наукова дисципліна - дослідження операцій, присвячена пошуку оптимальних рішень в різних, в тому числі і економічних задачах, в яких досліджувана (цільова) функція багатьох змінних приймає найбільше або найменше значення.