(Источников) в пространстве

; (8.2.28)

(8.2.29)

Здесь

, (8.2.30)

,

Т – некоторое фиксированное время;

æ – пьезопроводность пласта;

æ^* – анизотропия пласта.

8.3. Приток к несовершенной линии стоков (скважине) в ограниченном пласте при наличии подошвенной воды

В промысловой практике продуктивный пласт обычно вскрывается частично или на всю толщину с последующей поинтервальной перфорацией колонны. Эти два способа вскрытия пласта известны как частичное (скважина несовершенная по степени вскрытия) и полное вскрытие (скважина, совершенная по степени вскрытия и перфорированная). Целью частичного вскрытия пласта или перфорации верхней части обсадной колонны является предотвращение преждевременного прорыва воды в скважину. Частичное вскрытие, как правило, применяется в пластовых системах достаточно большой толщины.

Фактически почти все известные исследования неустановившихся процессов в пласте произведены для условий, когда кровля и подошва непроницаемы. Предметом этих исследований в основном являлось определение горизонтальной и вертикальной проницаемости и снижения продуктивности скважины за счет неполноты вскрытия пласта. Задачи неустановившихся притока жидкости или газа к несовершенной скважине с учетом подошвенной воды приведены в ограниченном числе работ. Что касается обратных задач гидродинамики в указанной постановке, то в печати известна лишь одна работа [29]. Результаты, полученные в этой работе, могут быть использованы: для определения параметров пласта по результатам исследования скважин методами падения и восстановления давления на забое и для определения горизонтальной и вертикальной проницаемости в условиях активного напора подошвенных вод; для изучения взаимодействия между непроницаемыми боковыми границами и подошвой пласта, где поддерживается постоянное давление, и интерпретации результатов исследования скважин; для определения характерных особенностей вида кривых падения и восстановления давления, с тем чтобы их использовать для идентификации пластовых систем с напором подошвенных вод; для изучения динамики давления в хвостовике колонны при закачке горячей жидкости.

8.3.1. Постановка задачи и ее решение. Модель пласта в изометрии и в плане представлена на рис. 8.1.

Рис. 8.1. Схема притока к несовершенной скважине в ограниченном пласте

Прямоугольной формы за счет напора подошвенной воды

Делаются следующие предположения:

1. Пласт представляется параллелепипедом с квадратной площадью дренажа А, постоянной толщиной h и пористостью т; проницаемостью по горизонтали и вертикали соответственно K и K_z; скважина радиуса r_с расположена в центре дренируемой площади и вскрывает пласт частично на величину b.

1. Жидкость однофазная малосжимаемая с коэффициентом сжимаемости b_ж, вязкость жидкости m, расход Q=const.

2. Первоначальное давление Р₀ в пласте всюду одинаково; при непроницаемых кровли и внешнем контуре на подошве пласта поддерживается постоянное давление равное начальному; гравитационные силы не учитываются, что вполне допустимо, так как рассматривается однофазный приток.

Таким образом, задача сводится к решению уравнения пьезопроводности (8.2.5) при следующих начальных и граничных условиях согласно схемы рис. 8.1:

; (8.3.1)

(8.3.2)

. (8.3.3)

Последнее условие в (8.3.2) указывает, что давление в скважине не зависит от координаты Z (условие постоянства потенциала вдоль вскрытой части пласта), а условие (8.3.3) утверждает постоянство дебита скважины. Символ r есть расстояние по радиусу относительно оси скважины.

Существуют различные методы решения задач для распределения давления в пласте, дренируемого несовершенной скважиной. Например, методы: стоков-источников, интегральное преобразование, функции Грина, конечных разностей, конечных элементов, фильтрационных сопротивлений и термодинамических аналогий. Все аналитические решения предполагают, что жидкость из пласта поступает в скважину с одинаковой плотностью расхода по вскрытой части, что, дает возможность на основании последнего равенства в (8.3.2) условие (8.3.3) переписать в виде

. (8.3.4)

Решение, удовлетворяющее условию (8.3.4), известно как решение для постоянного расхода. Грингартен и Рамей показали [29], что такое решение может быть использовано для определения падения давления на скважине с помощью численных методов, которое удовлетворяет постоянству потенциала на скважине и постоянству расхода (8.3.3). Автор [29] делает расчет падения давления на забое (депрессии) по особой точке в интервале вскрытия пласта. Для несовершенной скважины по степени вскрытия расположение этой точки зависит от параметра . Подобный прием отыскания аналогичной точки был также использован Грингартеном [29] при дренировании пласта бесконечной вертикальной трещиной.

Строго говоря, условия (8.3.3) и (8.3.4) справедливы для линии стоков-источников. Однако многими исследователями показано, что реальную скважину можно принять за линейный сток с достаточным обоснованием.

Рассматриваемую здесь задачу Бухидма [29] решал с использованием функции Грина и функций мгновенных стоков-источников, разработанных Грингартеном и Рамеем [29]. Для понижения давления на забое скважины (депрессии) при х₀=у₀ получено следующее уравнение в безразмерном виде (в наших символах с некоторыми преобразованиями):

(8.3.5)

где

; (8.3.6)

, (8.3.7)

m – коэффициент пористости;

В – объемный коэффициент жидкости.

Уравнение (8.3.5) затабулировано [28]. Графические зависимости представлены на рис. 8.2 и 8.3.

Рис. 8.2. Графические зависимости функции безразмерной депрессии для притока к несовершенной скважине, дренирующей однородно-анизотропный пласт прямоугольной формы с подошвенной водой, при параметрах: .

1—0,1; 2—0,2; 3—0,3; 4—0,4; 5—0,5; 6—0,6; 7—0,7; 8—0,8; 9—0,9; 10—1

Здесь положение особой точки Z_c зависит от интервала вскрытия , метод отыскания которой изложен в работе [29]. Многими исследователями показано, что поведение функции давления в начальный период времени описывается уравнением:

, (8.3.8)

где

; (8.3.9)

А=Х₀Y₀ – площадь дренирования (см. рис. 8.1).

Уравнение (8.3.8) справедливо при ; . Оно показывает, что в начальный период времени поведение несовершенной скважины такое же, как и совершенной скважины, дренирующий пласт на полную толщину h.

Рис. 8.3. Графические зависимости функции безразмерной депрессии для притока к несовершенной скважине, дренирующей однородно-анизотропный пласт прямоугольной формы с подошвенной водой, при параметрах: .

1—0,9; 2—10^-1; 3—10^-2; 4—10^-3; 5—10^-4; 6—10^-5; 7—10^-6.

8.3.2. Определение средневзвешенного давления в пласте. Расчет средневзвешенного по объему дренирования пластового давления основывается на материальном балансе запасов углеводородов V. Математически для безразмерного давления справедливо

. (8.3.10)

Внося (8.3.5) в (8.3.10) и интегрируя [29], получаем

. (8.3.11)

Для раннего периода времени влиянием притока жидкости в пласт можно пренебречь. Тогда для среднего давления имеем . Уравнение (8.3.11) справедливо, строго говоря, для однородного потока жидкости в ограниченном пласте. Но поскольку различие в решениях между указанным потоком и потоком в бесконечном пласте носит лишь локальное значение (в призабойной зоне), то решение (8.3.11) может быть использовано и для неограниченного пласта [29]. Расчетные значения безразмерного средневзвешенного давления по уравнению (8.3.11) для некоторых случаев приведены на рис. 8.4 [29]. Как видно из графиков, для раннего периода времени зависимость является линейной. Время, при котором кривые отклоняются от прямой линии, представляет собой начало неустановившегося процесса в пласте и является функцией параметров и . Как видно из графика (см. рис. 8.4), это время увеличивается с увеличением и уменьшением .

В заключение можно отметить следующее. Приведенное здесь уравнение для несовершенной линии стоков, частично вскрывающей однородно-анизотропный пласт с непроницаемыми границами, имеющий в горизонтальном сечении форму квадрата, с напором подошвенных вод постоянного давления на границе раздела вода–нефть, может быть использовано для решения как прямых, так и обратных задач подземной гидродинамики. Анализ зависимости безразмерного давления от безразмерного времени показывает наличие трех режимов течения: ранний неустановившийся, неустановившийся и установившийся периоды. Heустановившийся период не соответствует периоду псевдорадиального притока. Это означает, что информация об относительном вскрытии и коэффициенте продуктивности не может быть получена обычными методами анализа изменения забойного давления. Также не может быть определена и вертикальная проницаемость по методам, базирующимся на предположении существования периода псевдорадиального притока, если явно доминирует напор подошвенных вод. Продуктивность вскрытого интервала может быть определена по зависимости в ранний неустановившийся период при выполнении условия . Если выполняется условие то зависимость не отражает существования непроницаемых боковых границ и картина течения будет качественно соответствовать схеме напора краевых вод. Это означает, что для каждого значения параметров и существует минимальная площадь дренажа вдали от скважины, где эффект непроницаемых боковых границ не наблюдается. Если выполняется условие то наблюдается монотонное возрастание функции (см. рис. 8.3) в течение всего неустановившегося периода. Такое поведение функции обуславливается наличием непроницаемых границ.

Рис. 8.4. Зависимость безразмерного средневзвешенного давления от безразмерного времени Θ для замкнутого пласта с напором подошвенной воды, дренирующего с несовершенной кважиной, расположенной в центре квадрата при относительной площади дренирования

Заметим, использование приведенных здесь аналитических решений для интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин детально рассмотрено в работе [29]. В формулах (8.3.6) и (8.3.9) принимаются следующие размерности физических величин: [K]=Да, [h]=м, [Q]=м³/c, [B]=м³/м³, [m]=Па×с, [Р]=КПа, [b^*]=1/КПа, [А]=м², [t]=c, [r_c]=м.