12.3. Методика прогнозирования продвижения границы раздела и нефтеотдачи за безводный период по удельному объему дренирования

При проектировании и разработке водонефтяных и газонефтяных зон месторождений встают такие практические задачи, как определение и прогнозирование предельных безводных и безгазовых дебитов и депрессий, безводного и безгазового периодов эксплуатации и безводной (безгазовой) нефтеотдачи, соотношения дебитов нефти и воды, газа и нефти при совместном притоке к несовершенной скважине, времени истощения залежи и конечного коэффициента нефтеотдачи и газоотдачи. Аналогичные задачи возникают и при разработке газовых залежей с подошвенной водой. Некоторые из этих вопросов рассматривались и широко обсуждались в печати, однако указанная проблема далека от завершения и требует дополнительных исследований с целью создания рабочей инженерной методики по определению основных показателей разработки водонефтяных, газонефтяных и водогазовых зон. Разработка трещиноватого коллектора несовершенными скважинами при наличии подошвенной воды сопровождается более интенсивным прорывом последней к забою скважины из-за высокой проницаемости по вертикальным трещинам по сравнению с продвижением конуса воды в обычных породах-коллекторах. Естественно возникает вопрос об изоляции подошвенных вод, методы которых широко освещены в литературе. При этом эффективность изоляционных работ будет зависеть от глубины проникновения изолирующего агента, который должен быть дешевым и легко доступным.

Прежде всего требуются дополнительные исследования динамических задач конусообразования при дебитах и депрессиях выше их предельных значений. Эти задачи относятся к классу задач с подвижной границей и решения их представляются сложными функциями, требующими численного интегрирования с применением ЭВМ. Надо сказать, что число работ, относящихся к пространственным задачам динамики границы двух жидкостей в пористой среде, весьма ограничено [2-4, 14, 15, 21, 32, 34, 35]. Наиболее эффективными в математическом отношении является решения В.Л. Данилова, Р.М. Каца, Ю.С. Абрамова [23, 37, 39] для несовершенной линии-стока по степени вскрытия однородного полубесконечного пласта (рис. 12.2) с равномерно распределенной плотностью расхода, учитывающие различие в вязкостях жидкостей в условиях поршневого вытеснения. Авторы вывели очень сложные для вычислений интегродифференциальные уравнения движения границы раздела в безразмерных переменных [37, уравнение (IV.2.53), стр. 133], не получившие своей реализации. Опуская в уравнении параметр А, выражающий отношение гравитационных и динамических сил, авторы приходят к уравнению Фредгольма второго рода, решение которого представляется в виде ряда Неймана по параметру l, учитывающего коэффициенты подвижности нефти и воды при поршневом вытеснении [37, (IV.2.57), стр. 134]. Это решение также не получило реализации из-за трудностей, сопряженных с отысканием последовательных приближений ряда. Авторы ограничились случаем главного направления движения точки границы раздела по оси скважины (r=0) и получили приближенную формулу:

, (12.11)

где

; (12.12)

; (12.13)

; (12.14)

;           (12.15)

b – вскрытие пласта;

h_н – начальная нефтенасыщенная толщина;

Q – дебит скважины;

т – коэффициент пористости;

t – время продвижения точки по оси скважины, определяющее ординату вершины конуса z₀;

K_i, m_i – коэффициенты проницаемости и вязкости (i=1, 2 – соответственно для нефти и воды).

Рис. 12.2. Схема продвижения границы раздела нефть—вода:

1 – при полном обводнении; 2 – при совместном притоке; 3 – в момент прорыва воды; 4 –  в безводный период

Функция Т₁ рассчитана на ЭВМ и представлена графиком [37, рис. IV.33, с. 134].

Для «разноцветных» жидкостей (одножидкостная система), то есть при l=0, из формулы (12.11) следует точное решение для движения точки раздела по оси скважины в однородно-анизотропном пласте

; (12.16)

при f₀= получаем время безводного периода t₀. Для определения времени появления точки возврата (перед прорывом воды в скважину) авторы [37] получили формулу (t<t^*)

. (12.17)

Для ограниченной толщины пласта, то есть с учетом толщины водонасыщенной зоны, в работе [37] расчетные формулы не приводятся из-за их громоздкости. Но авторы приводят результаты таких расчетов, из которых видно, что наличие непроницаемой подошвы замедляет продвижение границы раздела к скважине. Наибольшее влияние непроницаемая подошва оказывает, когда водонасыщенная толщина h_в меньше продуктивной h_н, то есть когда h_в/h_н<1. При h_в/h_н>2 продолжительность безводного периода уже не зависит от водонасыщенной толщины.

В такой же постановке авторы [37] решают пространственную задачу двухфазной фильтрации (продвижение границы раздела к несовершенной линии-стоку до прорыва воды к забою и совместный приток жидкостей) методом конечных разностей, пренебрегая различием плотностей нефти и воды и капиллярным давлением. Полученный алгоритм был реализован для двухфазной аппроксимации области притока с использованием зависимостей: относительных фазовых проницаемостей от насыщенности K₁(s)=(1–s)²; K₂(s)=s²; s=0,3015 и параметров m₁/m₂=10, =0,3; 0,5. После достижения вершиной границы раздела забоя замечено резкое уменьшение скорости по оси скважины и некоторое увеличение скорости подъема вдали от скважины (на условном контуре питания), то есть отмечается характерное выполаживание условной границы раздела (изосаты). Далее установлено, что, начиная с определенного момента, влияние уменьшения относительного вскрытия на долю добываемой воды в продукции несущественное.

Из приведенного анализа становится ясно, что рассматриваемая задача, столь важная для нефтепромысловой практики, требует дальнейшего своего изучения. Дело в том, что не только надо уметь рассчитывать безводный период, но и оценить удельный объем дренирования, время истощения и конечную нефтеотдачу по возможности с учетом реальных свойств пласта и жидкостей. Такой подход к расчету процесса обводнения некоторых скважин Мегионского, Трехозерного и Мортымья-Тетеревского месторождений был произведен в работе [40], в которой приведено упрощенное решение интегро-дифференциального уравнения, полученного Ю.С. Абрамовым [37, 39], для условий притока «разноцветных» жидкостей (l=0, и А=0) при поршневом вытеснении в однородно-анизотропном пласте:

_(12.18)

где

K_r и K_z – проницаемость по горизонтали и вертикали соответственно.

При и f=f₀=z₀/h_н из выражения (12.18) следует уравнение движения точки по оси скважины

         (12.19)

Как видим, формулы (12.16) и (12.19) идентичны.

Ч тобы получить уравнение движения точки вдоль начального ВНК, надо принять в выражении (12.18) f=1, что приводит =0. Чтобы избежать этой особенности, примем в формуле (12.18) f=1 под корнем и f=0,99 в числителе. Получаем:

_(12.20)

Таким образом, решая совместно (12.19) и (12.20) при фиксированных значениях и f₀, определим текущую зону пространственного притока Для построения границы раздела по формуле (12.18) принимаем снова =₀, 0< < и находим соответствующую ординату f заданному значению (см. рис. 12.2, кр. 4).

При =0 и f= из формулы (12.18) получаем формулу для определения безводного периода

.         (12.21)

Решая совместно (12.21) и (12.20) при ₀=_б, определяем радиус пространственного притока за безводный период; далее при =_б и 0<r<r_б из совместного решения (12.21) и (12.18) находим соответствующие фиксированным значениям ординаты f и строим границу раздела (см. рис. 12.2, кр. 3).

Начальные удельные запасы нефти за безводный период в области удельного объема дренирования, ограниченного условным радиусом =R_у/h_н, определятся, очевидно, по формуле

.       (12.22)

Остаточные запасы в необводненной зоне, ограниченной в вертикальном сечении границей раздела f=f( ) и кровлей f=f(0)=0, прямыми =f( )=0 и =f(1)= (рис. 12.3), можно определить, разбивая всю площадь сечения на К площадей, подсчитывая их планиметром и заменяя их эквивалентными прямоугольниками. Далее, суммируя запасы в кольцевых эквивалентных цилиндрах V_0i, в конечном счете получим формулу для подсчета остаточных запасов в незаводненной зоне:

,     (12.23)

где значения безразмерных величин определяются непосредственно из схемы (см. рис. 12.3), которая по возможности должна быть выполнена аккуратно в соответствующем масштабе.

Рис. 12.3. Схема к расчету удельного объема дренирования и нефтеотдачи за безводный период

Суммарное количество добытой и остаточной нефти в объеме конуса за счет неполноты вытеснения определяется формулой

.          (12.24)

Коэффициент нефтеотдачи за безводный период выразится формулой

.          (12.25)

При суммировании (12.25) следует принять при п=1 значение .

Легко видеть, если в формуле (12.18) принять s=s₀ (s₀ – остаточная нефтенасыщенность), то получим количество остаточной нефти V_ок в объеме конуса за безводный период. С другой стороны, эта величина определяется разностью

_,          (12.26)

где

Q – суммарное количество добытой нефти;

В – объемный коэффициент нефти.

Тогда приравнивая (12.24) при s=s₀ и (12.26), получаем соотношение

.          (12.27)

Таким образом, по начальной нефтенасыщенности s и суммарному количеству добытой жидкости Q определяется остаточная нефтенасыщенность s₀, а затем по формуле (12.18) при s=s₀ – количество остаточной нефти V_ок. По указанной схеме, зная положение границы раздела на момент времени t, можно определить текущую нефтеотдачу и остаточную нефтенасыщенность в заводненном объеме.

Рассмотрим неустановившийся совместный приток нефти и воды при дренировании нефтяной оторочки (см. рис. 12.2). Принимая в уравнении (12.18) вместо относительного вскрытия текущую ординату вершины конуса , получим уравнение границы раздела при совместном притоке нефти и воды (см. рис. 12.2, кр. 2). При имеем , тогда из формулы (12.18) следует уравнение движения вершины конуса вдоль оси скважины , которое выражается формулой (12.21) при . Принимая в формуле (12.20) , находим радиус зоны пространственного притока r₀ при совместном притоке нефти и воды. Затем, задавая текущий радиус r₀ в пределах , при по формуле (12.18) находим соответствующие ординаты f и строим график границы раздела. После чего, по методике, изложенной выше, определяем текущий удельный объем дренирования и коэффициент нефтеотдачи при совместном притоке.

Время истощения залежи (полного обводнения) t_0и определяется из формулы (12.21) при =0. что дает t_0и=æ^*2. Принимая в формуле (12.20) t₀=t_0и=æ^*2 и , получаем уравнение для определения радиуса зоны пространственного притока на момент истощения (см. рис. 12.2, кр. 1):

.       (12.28)

Подставляя в формулу (12.18) t₀=t_0и=æ^*2 и , получаем уравнение границы на момент истощения удельного объема дренирования:

.    (12.29)

Задавая , по формуле (12.29) находим соответствующие значения и строим границу раздела в безразмерных координатах. Определение удельного объема дренирования, коэффициента нефтеотдачи и остаточной нефтенасыщенности производим по методике, изложенной выше.

В условиях интерференции скважин при условном контуре питания R_к, равным половине расстояния между скважинами, для определения ординаты (z_к – размерная ордината на контуре питания R_к) при и в уравнении (12.18) и (12.19) следует принять . Таким образом можно определить и скорость подъема ВНК на контуре R_к как в безводный период, так и в условиях совместного притока нефти и воды к скважине.

Принимая отношение дебита воды Q_в к дебиту нефти Q_н при совместном притоке пропорционально площадям фильтрации фаз на контуре скважины, т. е.

,          (12.30)

из уравнения (12.18) при получаем уравнение для определения соотношения R_в в зависимости от параметров и во времени T:

.          (12.31)

Здесь t определяется по формуле (12.1) при æ^*=1 и Q=Q_н.

Соотношение (12.31) не учитывает неполноту вытеснения, разность в вязкостях и плотностях жидкостей. Учет фазовых проницаемостей и подвижности жидкостей приводит к прямому решению сложной задачи двухфазной фильтрации методом конечных разностей [37], что затрудняет его широкую реализацию. Здесь предлагается учет указанных параметров косвенным путем.

В работе [41] предложена формула, определяющая водонефтяной фактор R_в с учетом несовершенства скважины, анизотропии ограниченного пласта, перепада давления, фазовых проницаемостей, различия в вязкостях и плотностях жидкостей в условиях квазиустановившегося притока, которая после некоторых упрощений принимает вид:

;          (12.32)

где

; (12.33)     .          (12.34)

Решая совместно (12.30) и (12.32), находим

.           (12.35)

Расчет процесса обводнения предлагается производить по следующей схеме:

– приняв для неограниченного пласта и определив радиус (r_0и — радиус зоны дренирования на момент полного обводнения скважины) по формуле (12.28), при известных исходных данных по формулам (12.1), (12.31) и (12.35) определяем высоту текущего фильтрационного потока на контуре скважины, и водонефтяной фактор R_в;

– затем строим графическую зависимость и .

Схему для совместного притока нефти и газа при дренировании нефтяной оторочки следует рассматривать в обратном изображении схемы для совместного притока воды и нефти (см. рис. 12.2), в которой все геометрические параметры для водоносного пласта заменить на параметры нефтяного пласта, а параметры нефтяного пласта на параметры газоносного. Приведенные расчетные формулы остаются справедливы и для совместного притока нефти и газа, если в них все физические параметры для воды заменить соответственно на параметры для нефти, а водонефтяной фактор R_в заменить на газонефтяной фактор , выраженный через массовые расходы газа (G_г) и нефти (G_н).

Предложенная методика справедлива для модели однородно-анизотропного неограниченного по простиранию пласта при достаточно большой водонасыщенной толщине (h_в³2h_н). В условиях интерференции скважин при условном контуре питания R_к, равном половине расстояния между скважинами, для определения ординаты (  – ордината на контуре R_к при в уравнении (12.18) следует принять . Формулы (12.21), (12.20), (12.19), (12.28) и (12.29) запрограммированы (фонды кафедры РЭНМ ТюмГНГУ) и рассчитаны: время безводного периода t_б; радиус зоны пространственного притока ; профили границ раздела на момент обводнения ₀ и истощения _ис для различных значений вскрытия пласта и анизотропии æ^*; зависимости безразмерного радиуса зоны пространственного притока от анизотропии пласта æ^*; зависимости безводного периода t_б от æ^* и ([42] Прил. 3-8).

Анализируя уравнения, таблицы и графические зависимости (см. [42] Прил. 3-8) можно сделать следующие выводы:

– радиус зоны пространственного притока увеличивается с увеличением анизотропии пласта æ^* и уменьшением относительного вскрытия по линейному закону;

– степень выработки и удельный объем дренирования пласта увеличиваются с увеличением анизотропии;

– безводный период возрастает с увеличением анизотропии и уменьшением относительного вскрытия пласта.

Изложенную здесь методику можно также использовать в расчетах, связанных с продвижением границы раздела нефть-газ (ГНК) при дренировании нефтяной зоны несовершенной скважиной, предварительно заменив в формулах все геометрические и физические параметры, относящиеся к водоносному пласту, на соответствующие параметры нефтеносного пласта.

Заметим, что с целью получения наиболее достоверной информации о пласте гидродинамические исследования скважины с подошвенной водой необходимо проводить при дебитах меньше их предельных значений.

Учет интерференции несовершенных скважин в залежах с подошвенной водой при расчетах времени безводной эксплуатации подробно рассмотрен нами в работе [31].