Шаг 4. Находим фазовые траектории при различных возможных значениях управления.
Так
для значения управления
исходная система уравнений имеет вид
.
Исключая время, получаем уравнение для нахождения фазовой траектории
.
Решая уравнение, находим, что фазовыми
траекториями являются параболы
,
ветви которых в системе координат (
)
направлены вправо. Обе компоненты
скорости положительны. Поэтому движение
вдоль фазовых траекторий происходит
по часовой стрелке (сплошные линии).
Для
значения управления
исходная система имеет вид
,
а
уравнение для фазовых траекторий
имеет своим решением семейство парабол,
ветви которых направлены влево. При
этом обход фазовых траекторий происходит
также по часовой стрелке (пунктирные
линии).
Анализ обхода траекторий показывает, что система, находящаяся в состоянии, характеризуемом произвольной точкой фазовой плоскости, может попасть в начало координат только при условии перехода (переключения) с фазовой траектории одного типа на фазовую траекторию другого типа, проходящую через начало координат.
Шаг
5. Рассмотрим
задачу с конкретными начальными
условиями. Пусть в начальный момент
система находилась в состоянии
.
В момент времени
система находится в начале координат
.
При выбранных начальных условиях движение должно начаться по траектории, соответствующей значению управления (парабола с ветвями, направленными влево), и продолжиться по траектории, соответствующей управлению , проходящей через начало координат.
Для
нахождения момента переключения
с
одной траектории на другую находим
конкретные уравнения траекторий.
Решаем
систему
,
Решаем
систему операторным способом:
.
Имеем
,
.
.
Решаем
систему
,
.
Для того, чтобы применить операторный
метод, вводим новую переменную
таким
образом, чтобы начальные условия
соответствовали моменту
:
.
Тогда система записывается следующим
образом
,
,
Возвращаясь
к исходной переменной, получаем решение:
.
Находим
точку пересечения, решая систему
,
получаем
Таким образом, материальная точка будет остановлена в начале координат за наименьшее время , если в момент времени переключить управление на противоположное.
ВАРИАНТЫ
5.
Объект
управления задается уравнением
.
Определите алгоритм оптимального
управления, который обеспечит перевод
объекта из начального состояния
в конечное состояние
за минимальное время
.
Определите число и моменты переключений.
Постройте кривую управления, кривые
,
фазовые траектории. Заданы параметры
6.Объект управления задается уравнением
.
Определить
алгоритм оптимального управления,
который обеспечит перевод объекта из
начального состояния
в конечное состояние
за минимальное время
при условии
.Определите
число и моменты переключений. Постройте
фазовый портрет и графики функций
