Принцип максимума л.С. Понтрягина

1. Принцип наименьшего действия в механике.

Наиболее общей формой закона движения в механике является принцип наименьшего действия. Согласно этому принципу механическая система полностью задается координатами и скоростями (импульсами ) элементов системы при помощи функции Лагранжа , которая является разностью между кинетической и потенциальной энергиями системы. Движение между двумя точками и всегда происходит таким образом, чтобы функционал действия принимал наименьшее возможное значение. Другими словами траектория движения должна быть экстремалью и удовлетворять уравнению Эйлера, которое в механике называют уравнением Лагранжа: .

Используя выражение для кинетической энергии, представляем функцию Лагранжа в виде . Тогда частная производная по совпадает с импульсом системы . А из уравнения Лагранжа следует, что . Пусть функция Лагранжа явно не зависит от времени. Тогда полную производную по времени записываем следующим образом:

.

Из последнего уравнения следует, что при движении по экстремали сохраняется постоянной величина ( ). Эта величина является полной энергией системы и ее называют гамильтонианом системы .

Запишем выражение для полного дифференциала этой функции:

.

Сопоставляя полученное выражение с общим выражением для полного дифференциала

, получаем уравнения, которые в механике называют уравнениями Гамильтона

.

Эти уравнения являются наиболее общей формой записи уравнений движения. Таким образом, если движение подчиняется уравнениям Гамильтона, то вдоль всей траектории энергия системы сохраняется.

2. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в оптимальном управлении.

Пусть движение объекта задается системой дифференциальных уравнений

,

Здесь - вектор фазовых координат, а - вектор управления. Важным является то, что вектор управления не может быть произвольным. Он ограничен физическими и конструкционными особенностями задачи : .

Задача. Требуется найти такую функцию управления , которая обеспечила бы минимум функционала

.

Этот функционал может иметь различный смысл, например, может быть временем перехода системы из одного состояния в другое, временем затухания переходного процесса и т.д.

Рассмотрим линейную задачу на быстродействие. В этой задаче функционал имеет смысл времени перехода

системы из состояния в состояние .

Оптимальным называют управление , которое обеспечит перевод системы из одного состояния в другое за наименьшее время.

Однако, ограниченность управления не позволяет применить для решения задачи классическое вариационное исчисление. Задачу решил Л.С. Понтрягин следующим образом.

Кроме фазовой координаты в рассмотрение вводится также и фазовый импульс. Обозначим вектор фазового импульса как .

По аналогии с классической теоретической механикой рассматривается функция

,

которая называется гамильтонианом и по смыслу является полной энергией системы. Эта функция связана с векторами фазовых координат и импульсов уравнениями, аналогичными уравнениям Гамильтона в механике

Для оптимального управления вектор управления должен быть таким, чтобы при любых фазовых координатах и импульсах обеспечивался максимум гамильтониана как функции управления .

При этом необходимые условия существования экстремума имеют вид

.

Запись линейной системы в матричной форме имеет вид

.

Из последнего выражения гамильтониана следует, что он принимает наибольшее значение в случае, когда скалярное произведение максимально. Другими словами векторы фазового импульса и управления должны быть сонаправлены.

Рассмотрим конкретную задачу: точка массы движется по инерции. Как за наименьшее время остановить ее в начале координат под действием ограниченной силы?

Уравнение движения в данном случае имеет вид .

Шаг1. Переписываем дифференциальное уравнение в равносильную систему, вводя новые переменные

.

Записываем гамильтониан системы

Шаг 2. Записываем уравнения Гамильтона (второе уравнение из системы) и получаем систему уравнений для нахождения фазовых импульсов:

.

Решение системы имеет вид .

Шаг 3. Найденные выражения для импульсов подставляем в гамильтониан системы

.

Записываем необходимые условия существования экстремума:

.

Из этого выражения видно, что производная имеет только один нуль. Функция является строго монотонной и изменяет знак один раз.

Максимум гамильтониана как функции управления обеспечивается при условии: управление принимает максимальное по абсолютной величине значение. Поэтому возможными значениями управления являются