1. По заданной ковариационной функции стационарного случайного процесса найти

а) спектральную плотность :

б) время корреляции (эффективную длительность автокорреляционной функции)

,

с) эффективную ширину спектра :

д) среднюю мощность случайного процесса

ВАРИАНТЫ

1) , 2)

3) 4)

2. По заданной спектральной плотности стационарного случайного процесса найдите:

а) автоковариационную функцию

б) дисперсию

с) эффективную ширину спектра:

3. На вход линейной динамической системы подается случайный сигнал, заданный спектральной плотностью или автоковариационной функцией. Найдите характеристики сигнала на выходе системы: , , среднюю мощность случайного процесса. Сравните дисперсии ( средние мощности ) на входе и выходе системы: и , сравните эффективную ширину спектра и эффективное время корреляции на входе и выходе системы. При решении задачи используйте связь между спектральной плотностью на входе и выходе системы:

ВАРИАНТЫ (выбрать одно уравнение и один вид входного сигнала по указанию преподавателя)

Дифференциальные уравнения линейных систем:

1)

2)

3)

4)

5)

Возможные входные сигналы:

а) белый шум,

б) низкочастотный белый шум

и ,

с) сигнал с автоковариационной функцией

,

д) сигнал с автоковариационной функцией

РГР 6. Линейные дифференциальные уравнения. Качественная теория. Фазовые портреты.

Литература

1. Алексеев Д.В., Казунина Г.А. Дифференциальные уравнения с элементами теории устойчивости: учеб. пособ.[электронный ресурс].- КузГТУ.- Кемерово.- 2010

2. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости [электронный ресурс]: СПб.- Лань, 2008

ВАРИАНТЫ

1.Построить фазовые портреты для автономных дифференциальных уравнений первого порядка. Разбить уравнения на классы качественно эквивалентных и для каждого класса схематично построить интегральные кривые:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11)

12) 13)

2.а) Преобразовать линейные дифференциальные уравнения второго порядка в равносильную систему линейных уравнений и записать в матричной форме,

б) Найдите собственные значения матрицы системы и определите по ним жорданову форму матрицы и тип фазового портрета,

в) Найдите точные уравнения фазовых траекторий и схематично постройте их,

с) Сделайте вывод об устойчивости нулевого решения.

ВАРИАНТЫ

1) 2)

3) 4)

РГР 6. Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом матричной экспоненты

Литература

1. Алексеев Д.В., Казунина Г.А. Дифференциальные уравнения с элементами теории устойчивости: учеб. пособ.[электронный ресурс].- КузГТУ.- Кемерово.- 2010

2. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости [электронный ресурс]: СПб.- Лань, 2008

3.Решите однородные системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка различными методами

а) с использованием матричной экспоненты

б) операторным методом. Начальные условия заданы в момент

1) 2) 3)

4) 5)

РГР 6. Линейные дифференциальные уравнения.

Решение систем линейных неоднородных уравнений методом матричной экспоненты

Литература

1. Алексеев Д.В., Казунина Г.А. Дифференциальные уравнения с элементами теории устойчивости: учеб. пособ.[электронный ресурс].- КузГТУ.- Кемерово.- 2010

2. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости [электронный ресурс]: СПб.- Лань, 2008

Решите неоднородные системы, используя метод матричной экспоненты:

ВАРИАНТЫ:

1) 2)

3)

РГР 8. Анализ линейных дифференциальных уравнений высших порядков.

Литература

1. Алексеев Д.В., Казунина Г.А. Дифференциальные уравнения с элементами теории устойчивости: учеб. пособ.[электронный ресурс].- КузГТУ.- Кемерово.- 2010

2. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости [электронный ресурс]: СПб.- Лань, 2008

1. а) перепишите дифференциальные уравнения высших порядков в равносильную систему уравнений первого порядка.

б) запишите систему в матричной форме.

в) найдите собственные значения и жорданову форму матрицы системы.

г) установите, из каких элементарных блоков более низких порядков формируется жорданова форма.

ВАРИАНТЫ:

1) 2) 3)

РГР9. Элементы теории устойчивости

Литература

1. Алексеев Д.В., Казунина Г.А. Дифференциальные уравнения с элементами теории устойчивости: учеб. пособ.[электронный ресурс].- КузГТУ.- Кемерово.- 2010

2. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости [электронный ресурс]: СПб.- Лань, 2008

3. Казунина Г.А. и др. Элементы теории функций комплексной переменной: учеб. пособ. – КузГТУ.- 2008 (Последний параграф по критерию Михайлова)

1. Исследуйте устойчивость нулевого решения для линейных дифференциальных уравнений и систем, используя критерии а) Гурвица

б) Михайлова

с) анализируя знак вещественных частей собственных значений матрицы (если это возможно).

1. ,

2) ,

3)

4) 5) 6)

2. Исследовать, при каких значениях параметров нулевое решение асимптотически устойчиво

1. 

2. 

3. 

4. 4)

3. Исследуйте на устойчивость нелинейные системы дифференциальных уравнений:

а) найдите положения равновесия ( неподвижные точки )

б) постройте линеаризованную систему в окрестности каждой неподвижной точки и определите характер неподвижных точек

с) схематично постройте фазовые траектории в окрестности положений равновесия. В том случае, если неподвижная точка является центром, проведите дополнительные исследования.

ВАРИАНТЫ

1. 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

4.Исследовать, при каких значениях параметров нулевое решение системы является устойчивым

ВАРИАНТЫ

1. 2)

2. 4)

РГР10. Элементы вариационного исчисления. Экстремали. Принцип максимума Л.С. Понтрягина

Литература

1. Гюнтер Ф.М. Курс вариационного исчисления [электронный ресурс]

Простейшей вариационной задачей называют задачу нахождения экстремума функционала

на множестве непрерывно дифференцируемых функций , заданных на отрезке и удовлетворяющих условиям .

Функция, которая доставляет экстремум функционалу, называется экстремалью. Если функция дважды непрерывно дифференцируема на и является экстремалью, то она необходимо удовлетворяет уравнению Эйлера:

.

В некоторых случаях решение уравнения Эйлера упрощается по сравнению с общим случаем

1. Функция в выражении для функционала явно не зависит от : ( это уравнение не является дифференциальным) ;

2. Функция зависит только от : . Общим решением этого уравнения являются прямые линии

3. Функция не зависит от :

4. Функция явно не зависит от :

.

ВАРИАНТЫ

1.Найти экстремали функционала, удовлетворяющие заданным граничным условиям.

ВАРИАНТЫ (в скобках указаны ответы)

1. 

( )

2. 

( )

3. 

( )

4. 

( )

2. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой , соединяющей точки и со скоростью , а точки имеют координаты

(Ответ: )

3. Задача о брахистохроне. Найдите плоскую кривую, соединяющую точки и , при скатывании вдоль которой под действием силы тяжести материальная точка перемещается из в за наименьшее время. Ответ:

4. Найти экстремали функционала в задаче с подвижными границами

Простейшая задача вариационного исчисления с подвижными границами состоит в определении функции и точек , для которых функционал достигает экстремума при условии .

Поскольку в этой задаче значения искомой функции на концах отрезка не зафиксированы, то для определения произвольных постоянных в решении уравнения Эйлера вводятся условия, которые называют условиями трансвесальности:

.

Если на одном из концов искомой функции задано обычное граничное условие, то условие трансверсальности следует записывать только для другого конца.

Если граничное условие на одном из концов отсутствует, , то это означает, что граничная точка может перемещаться по вертикальной прямой и вместо условия трансверсальности записывают условие ( в этой граничной точке).

ВАРИАНТЫ:

1. 

(Ответ: )

2. 

(Ответ: )

3. 

(Ответ: )