Лекция 23 Читать

4. Нелинейные системы управления.

Во всех предыдущих разделах мы изучали свойства систем, элементы которых с достаточной точностью описываются линейными математическими моделями. Однако системы, которые принято считать линейными, являются таковыми только в определенном диапазоне изменения входных сигналов и при изменении условий работы могут стать нелинейными.

Ужесточение требований к качеству работы физических систем автоматики приводит к появлению все более сложных математических моделей, которые все-таки никогда не будут полностью адекватны реальному объекту. Кроме того, характеристики некоторых элементов имеют настолько существенный нелинейный характер, что вообще не могут быть линеаризованы (например, реле с гистерезисом). Таким образом, в ряде ситуаций наиболее точным оказывается описание системы с помощью нелинейных математических моделей.

Почему многие ученые проявляют в настоящее время интерес к совершенствованию и пратическому приложению технологий нелинейного управления?

• Повышение качества существующих систем управления.

Методы с применением линейных законов управления основаны на предположении о малом диапазоне функционирования объекта управления, таком диапазоне, в котором правомерна линеаризованная модель объекта управления. Если требуемый рабочий диапазон является большим, то линейные управляющие устройства работают плохо или приводят к неустойчивости системы вследствие того, что эти устройства не могут компенсировать присущие объекту нелинейности.

Нелинейные управляющие устройства позволяют в широком рабочем диапазоне непосредственно решать проблемы, связанные с нелинейностми. Например, перевернутый маятник.

• Анализ «жестких» нелинейностей

Одно из предположений, связанных с применением линейных управляющих устройств, заключается в том, что нелинейности реально линеаризуемы. Однако системы управления содержат нелинейности разрывного характера, которые в принципе не позволяют осуществить линейную аппроксимацию.

Например, сухое трение, люфт.

• Простота проектирования

Качественное проектирование нелинейных законов управления может быть более простым и интуитивно понятным по сравнению с их линейными аналогами.

• Борьба с неопределенностями модели

Обычно при пректировании линейныхуправляющих устройств предполагают, что параметры объекта управления неизменны и известны. Однако во многих задачах управления приходиться иметь дело с неопределенностями в модели объекта управления. Нелинейности могут быть намеренно включены в управляющее устройство системы управления, так что неопределенности модели могут быть терпимыми.

Два класса нелинейных управляющих устройств используется с этой целью, а именно, робастные управляющие устройства и адаптивные управляющие устройства.

В этом разделе мы дадим некоторые принятые определения нелинейных систем, обсудим способы их описания и отметим основные отличительные особенности по сравнению с линейными моделями.

4. 1. Модели нелинейных систем управления

Нелинейными системами автоматического управления будем называть системы, которые содержат хотя бы один нелинейный элемент. Различают статические нелинейные элементы, математические модели которых можно представить в виде нелинейных статических характеристик (нелинейных алгебраических уравнений), и динамические, процессы в которых описывают нелинейные дифференциальные уравнения.

Основной математической моделью нелинейных звеньев и систем является нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение. В общем случае поведение многомерных систем описывают следующие уравнения состояния и выхода:

(1)

где х. - n-мерный вектор состояния; u - r-мерный вектор управления, ; у - l-мерный вектор выходных переменных; f(t,x,u) и g(t,x) - нелинейные вектор - функции. Зависимость этих функций от t отражает действие возмущений. Причем под возмущением понимают как влияние окружающей среды (сигнальное возмущение), так и изменение параметров самого объекта (параметрическое возмущение).

В частном случае управляющее воздействие может входить в уравнение состояния (1) в виде суммы с нелинейными коэффициентами

(2)

где B(t,x) - матрица нелинейных коэффициентов размера .

Систему, поведение которой описывают уравнения (2), будем называть нелинейной нестационарной системой с афинным управлением.

Если параметры системы с течением временем не меняются, а возмущающие воздействия пренебрежимо малы, то она называется нелинейной стационарной системой. Ее модель имеет вид

(3)

В случае, когда отсутствует управляющее воздействие в (2) , система называется нелинейной нестационарной автономной и описывается уравнениями

(4)

Если правая часть уравнений (4) не зависит от времени t, то мы будем говорить о нелинейной стационарной автономной системе.

Примеры нелинейных объектов управления.

Пример 1. Маятник.

Рассмотрим маятник на рис. выше, динамика которого описывается нелинейным уравнением

,

где R-длина маятника, m- его масса, b- коэффициент вязкого трения в шарнире, g- ускорение силы тяжести, M –приложенный к маятнику момент. Обозначая запишем уравнение маятника в переменных состояния

или

,

где

Пример 2. Два соединенных резервуара.

В качестве объекта управления рассмотрим два соединенных резервуара, в которых фактически можно измерить только уровень жидкости во втором резервуаре. Однако также нас интересует и оценка уровня жидкости в первом резервуаре. Схематическое изображение ОУ представлено на рис. ниже.

Вода течет в первый резервуар через насос со скоростью u, что влияет на уровень воды в резервуаре 1 (обозначенный через h1). Вода вытекает из резервуара 1 в резервуар 2 со скоростью q1, воздействуя на уровни h1 и h2. Наконец, вода вытекает из резервуара 2 со скоростью q2.

Для данного процесса получены дифференциальные уравнения, которые связывают скорости потоков и уровни:

или

, (9)

где площадь поперечного сечения баков 1 и 2 соответственно; объемная составляющая баков.

Полагая , = , = , получаем следующие выражения:

где вектор состояния.

После подстановки всех данных в формулу (1), уравнения объекта управления принимают вид:

Как видим, порядок объекта управления равен 2, т.е. n=2.

Пример 3.

где h - коэффициент вязкого трения.

Вводя переменные состояния и пренебрегая статическим трением, запишем уравнения объекта масса-пружина-трение в переменных состояния

Если вязкое трение описывается нелинейным уравнением, то вместо имеем, например, .