Постановка задачи синтеза.
В соответствии с (67) передаточная функция проектируемой системы, представленной на рис. 27, при f = s = 0 равна
.
(99)
Характеристический многочлен замкнутой системы определяется как
.
(100)
Пусть
известны передаточные функции
,
а также
выбран характеристический многочлен
наблюдателя
.
Требуется найти такое допустимое
управление, которое обеспечивает
равенство передаточных функций
проектируемой и желаемой систем, т.е.
.
(101)
Наблюдатель
с передаточной функцией
можно ввести, умножая числитель и
знаменатель передаточной функции
желаемой системы на
:
.
(102)
При
нулевых начальных условиях динамика
системы с передаточной функцией
не отличается
от динамики желаемой системы. Однако
характеристический многочлен системы
с передаточной функцией
будет равен
.
Если
выбрать
так, чтобы наблюдатель был устойчивым
и малоинерционным, то поведение систем
с передаточными функциями
и
будет мало отличаться и при ненулевых
начальных условиях, да и то лишь в
начальный этап переходного процесса.
С учетом (100), (93) из (102) получаем
.
(103)
Следовательно,
задача проектирования сводится к выбору
многочленов
,
удовлетворяющих соотношению (103) и
условиям допустимости управления. При
этом выбором
и
обеспечивается желаемое расположение
полюсов, а выбором
- желаемое расположение нулей проектируемой
системы.
Решение задачи.
Обычно порядок желаемой системы ниже порядка объекта управления, т.е.
.
Поэтому
для удовлетворения условия (103) нужно
так выбрать
,
чтобы скомпенсировать все или часть
нулей и полюсов передаточной функции
объекта управления.
Рассмотрим
лишь компенсацию нулей объекта управления,
т.е. нулей многочлена
.
С этой целью разложим этот многочлен
на множители
,
(104)
где
все нули
лежат внутри
окружности единичного радиуса, а все
нули
- вне нее. Чтобы
такое разложение было единственным,
положим коэффициент при старшем члене
равным единице.
Нетрудно показать, что стремление
скомпенсировать нули объекта, расположенные
вне окружности единичного радиуса, т.е.
стремление сократить множитель
,
приводит к
неустойчивой системе, действительно,
в соответствии с (99) такие нули могут
быть скомпенсированы, если множитель
является сомножителем
,
т.е. если
,
а следовательно, сомножителем характеристического многочлена проектируемой системы
.
(105)
При этом характеристическое уравнение проектируемой системы
,
содержит корни, по модулю большие единицы, что говорит о неустойчивости такой системы. Как видим, нельзя сокращать многочлен и поэтому он должен быть сомножителем числителя желаемой передаточной функции, т.е.
,
(106)
В отношении нулей объекта, расположенных внутри окружности единичного радиуса, ограничений не существует и, следовательно, их можно скомпенсировать. Так, включив в сомножитель , т.е. представив в виде
,
(107)
добиваемся сокращения всех нулей объекта, имеющих модуль, меньший единицы, действительно, подставляя (104) и (107) в (99), получаем
.
При этом условие (101) сводится к двум уравнениям синтеза
,
(108)
(109)
Заметим, что характеристический многочлен спроектированной системы
,
включает
в себя компенсированные нули объекта,
т.е. многочлен
,
полюсы желаемой системы, т.е.
характеристический многочлен желаемой
системы
,
и полюсы наблюдателя, т.е. характеристический
многочлен
.
Итак,
при заданной передаточной функции
желаемой системы и выбранном многочлене
многочлены
и
должны обращать в тождество уравнение
(108), а многочлен
должен удовлетворять уравнению (109).
Так
как
и
не имеют общих делителей, то из теории
полиномиальных уравнений следует, что:
а) существует единственное решение уравнения (108), удовлетворяющее условию
;
б) на основе этого единственного решения можно построить сколь угодно много решений, при этом все решения дают одинаковую передаточную функцию
,
связывающую выходной сигнал системы и задающее воздействие, что позволяет из этого множества выбрать решение, удовлетворяющее другим ограничениям, накладываемым на допустимое управление.
Физически осуществимое управление. Можно показать, что физически осуществимое решение задачи синтеза, т.е. решение, удовлетворяющее условиям (100), имеет место, если выполняются неравенства
,
(110)
,
(111)
Первое из этих условий означает, что инерционность желаемой системы должна быть не меньше инерционности объекта управления, а из второго условия вытекает, что для получения физически осуществимого управления степень многочлена наблюдателя должна быть достаточно большой.
Включение в обратную связь дискретных интеграторов. Как уже было показано при рассмотрении исходных данных, для обеспечения малой чувствительности системы к низкочастотным возмущениям и неточности модели объекта управления на низких частотах достаточно выбрать многочлен в виде
.
При этом легко убедиться, что если выполняется условие (110) и имеет место неравенство
,
то выполняются условия физической осуществимости и . Таким образом, при включении интегратора в обратную связь степень многочлена наблюдателя должна быть увеличена на единицу по сравнению с (111).
Одной из основных проблем рассматриваемого метода является решение линейного полиномиального уравнения
, (112)
или
,
(113)
что
можно сделать следующим образом. Ввести
многочлены
и
заданной степени с неопределенными
коэффициентами и затем приравнять
коэффициенты при одинаковых степенях
z
в левой и правой частях уравнения (112).
В результате получается совокупность
q
линейных алгебраических уравнений, где
,
решая
которую находим коэффициенты многочленов
и
.
Заметим, что заданная степень этих
многочленов определяется соотношениями
,
(114)
,
(115)
где
=0
или
=1
в случае отсутствия или включения
интегратора в обратную связь.
Заметим, что если q > 4, целесообразно использовать машинные методы решения системы линейных алгебраических уравнений.
Пример. Пусть объектом управления является электрический двигатель с передаточной функцией
связывающей угол поворота вала двигателя и напряжение, поступающее на его вход. Найдем передаточную функцию этого двигателя, управляемого от ЦВМ,
где
.
Следовательно,
Предположим, что желаемая передаточная функция имеет вид
.
и
ее знаменатель соответствует знаменателю
дискретной передаточной функции
колебательного звена с непрерывной ПФ
при
=1
и
=0,7.
Период дискретизации T=0,25c.
Передаточная
функция
содержит нуль
,
который не входит
в передаточную функцию желаемой системы.
Поэтому необходимо его исключить.
Шаг
1. Разложим
на множители
.
При этом согласно (106)
,
где
.
Степень
многочлена
определяется неравенством (111). Полагая
=0
и учитывая, что
,
получаем
Выберем
,
так что
.
Тогда степени многочленов и в соответствии с (111) и (112) будут равны
,
.
Принимаем
,
где
- неопределенные коэффициенты.
Шаг 2. С учетом принятых выражений для и уравнение синтеза (106) можно записать как
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, получаем систему уравнений, решение которой имеет вид
.
Шаг 3. Из уравнения (109) и (107) следует, что
.
Отсюда в соответствии с (97) получаем z – преобразование управления
.
При этом закон управления можно записать в следующем виде:
.
Реакция спроектированной системы на ступенчатое воздействие показана на рис. 22.
Рис. 22
(а) Нуль объекта компенсируется; (b) Нуль объекта не компенсируется.
Как видим, в управляющем сигнале наблюдается «дрожание» или «рябь», вызванная компенсацией нуля, лежащего на отрицательной вещественной оси. В моменты дискретизации эта рябь не видна в выходном сигнале. Однако когда период дискретизации достаточно большой, рябь проявляется в выходном сигнале между моментами дискретизации. Можно показать, что включение нуля в желаемую передаточную функцию, другими словами, отказ от компенсации нуля, позволяет избавиться от ряби в выходном сигнале ценой небольшого снижения быстродействия.
Заметим, что в цифровых системах мы можем добиться бесконечной степени устойчивости (другими словами, можем расоложить все полюсы системы в начале координат), чего нельзя сделать применительно к непрерывным системам.
Рассмотрим замкнутую цифровую систему с ПФ
Все полюсы такой системы расположены в z=0, что говорит о том, что переходный процесс заканчивается за конечное время, равное четырем периодам дискретизации, 4T.