2.3. Внутренняя динамика

Понятие внутренней динамики введем с помощью следующего примера. Рассмотрим нелинейный объект управления

(21)

Цель управления, чтобы выход y(t) следил за y_ж(t). Дифференцируя y(t), получаем

(22)

Отсюда управление

(23)

приводит к уравнению для ошибки слежения

(24)

которое обеспечивает экспоненциальную сходимость e к нулю.

Применяя тот же самый закон управления ко второму уравнения в переменных состояния, получаем уравнение

, (25)

описывающее внутреннюю динамику и являющееся нелинейным и неавтономным. Учитывая, что ошибка слежения в соответствии с (24) ограничена по величине и скорость желаемой реакции ограничена по условию, мы приходим к выводу, что их разность также ограничена, т.е.

где d положительная постоянная. Отсюда мы делаем вывод, что

т.к. если и если Поэтому выражение (25) дает приемлемый с точки зрения устойчивости внутренней динамики закон управления для системы (21), позволяющий следить за любым желаемым задающим воздействием, производная которого ограничена.

Замечание. Если второе уравнение состояния в (21) заменить на

то в результате получим неустойчивую внутреннюю динамику.

2.4. Нуль-динамика

Определение. Нуль-динамикой системы называется внутренняя динамика, если выход y(t) удерживается равным нулю с помощью соответствующего управления.

Например, для системы (21)

если выход , то . Как следует из уравнений, это будет иметь место при . Отсюда нуль-динамика описывается уравнением

(26)

Используя функцию Ляпунова легко установить, что нуль-динамика будет асимптотически устойчивой. Действительно, производная от функции Ляпунова является отрицательной ,

Заметим, что

- Причина для определения и исследования нуль-динамики состоит в том , что мы хотим найти простой путь определения устойчивости внутренней динамики.

- В линейных системах устойчивость нуль–динамики влечет за собой глобальную устойчивость внутренней динамики (внутреннюю устойчивость системы). В нелинейных системах, если нуль-динамика глобально устойчивая, то гарантируется лишь локальная устойчивость внутренней динамики.

Вывод. Проектирование закона управления с помощью линеаризации вход-выход может быть осуществлено в три этапа:

- дифференцировать выход y(t) до тех пор, пока в правой части не появится u(t). Число раз, которые мы должны продифференцировать выход, чтобы управление появилось в выражении справа, как говорят, определяет относительную степень r объекта управления.

- выбрать u(t) так, чтобы сократить нелинейности.

- исследовать устойчивость внутренней динамики.

9. Синтез нелинейной следящей системы с помощью скользящего управления

Уравнения движения некоторого класса нелинейных динамических объектов в непрерывной области можно представить в канонической (аффинной) форме

y(t) =x(t), (1)

где f неизвестная нелинейная функция времени, b постоянный коэффициент, u и y скалярные вход и выход ОУ соответственно.

Цель управления принудить вектор состояния отслеживать конкретную желаемую траекторию , другими словами, заставить y(t) следить за изменениями желаемого сигнала = . Если мы определим векторную ошибку слежения как , то целью управления можно считать проектирование закона управления, который обеспечивает при . (в последующем изложении, ради простоты, мы предположим, что b =1,)

Уравнение (1) описывает объект, который можно преобразовать в линейный объект, используя линеаризацию обратной связью, если f точно известная функция. Конкретно следующий закон управления

(2)

преобразует исходное нелинейное уравнение в линейное уравнение

, (3)

где представляет собой соответствующим образом выбранный вектор, который обеспечивает удовлетворительное поведение замкнутой системы, описываемой уравнением (3), по меньшей мере, обеспечивает устойчивость замкнутой системы.

Если = 0 (задача регулирования), то (2) принимает вид

и этот закон преобразует (1) в уравнение

.

Так как f неизвестно, то интуитивным кандидатом на роль u в (2) должно быть управление

, (4)

где дополнительный сигнал управления, который будет определен позднее. Здесь является параметризованной функцией , реализуемой адаптивным устройством, которое обладает достаточно хорошими свойствами, чтобы аппроксимировать f . Используя этот закон управления, получаем замкнутую систему, описываемую уравнением

. (5)

Для случая = 0 (5) преобразуется в

.

Теперь проблема разделяется на две задачи:

• Каким путем можно настроить адаптивное устройство, используя приращения (обновления), так, чтобы для всех x.

• Как применить , чтобы гарантировать глобальную устойчивость замкнутой системы, в то время как будет аппроксимировать f в течение всего процесса управления.

Первая задача не является чрезмерно сложной, если содержит достаточное число параметров, чтобы аппроксимировать f . Мы ее не будем рассматривать.

Для второй задачи надо использовать концепцию раздела теории нелинейных систем, называмого скользящим управлением (управление со скользящим режимом). Стандартный метод его применения заключается в том, чтобы ввести в рассмотрение метрическую ошибку (критерий ошибки) как

. (6)

При этом уравнение определяет в n-мерном пространстве гиперплоскость, на которой векторная ошибка слежения

затухает экспоненциально до нуля, так что может быть получено со временем идеальное слежение. Более того, если мы обеспечим следующее условие

, (7)

то достигнет гиперплоскости за конечное время меньшее или равное . Другими словами, при обеспечении условия (7) достигает скользящей поверхности за конечное время, после чего вектор ошибки будет стремиться к началу координат экспоненциально с потоянной времени .

Уравнение (6) для можно записать в другом виде

. (8)

Дифференцируя вышенаписанное уравнение и затем, учитывая уравнение (5) для , мы получаем

. (9)

С помощью подстановки имеем

и

Отсюда уравнение (7) удовлетворяется, если и только если

Если мы предположим, что ошибка аппроксимации ограничена положительным числом A, то вышезаписанное уравнение будет всегда удовлетворяться, если

Итак, если мы выберем закон управления как

где выход адаптивного устройства, которое аппроксимирует f, и A граница для ошибки аппроксимации, то замкнутая система может достичь с течением времени асимптотически идеального слежения с глобальной устойчивостью.

Этот подход использует технологии проектирования нелинейных систем и дает строгое доказательство глобальной устойчивости. Однако его применение ограничено объектами, допускающими линеаризацию обратной связью.