Лекция 20
3. 21. Передаточные функции цифровой системы управления с обратной связью.
С помощью структурных схем, изображенных на рис. 24 и 25 легко найти,
используя правила преобразования соединений звеньев, основные передаточные функции цифровых систем управления с обратной связью.
Передаточная функция замкнутой системы (передаточная функция по задающему воздействию) или (дополнительная функция чувствительности Т*(z)) обозначается
(или
)
и
определяется как отношение Z-преобразований
управляемой и задающей последовательностей
предварительно невозбужденной системы
в отсутствие других внешних воздействий.
Из структуры (рис. 24) и в соответствии
с определением получаем
,
(67)
где функция
,
(68)
называется передаточной функцией разомкнутого контура обратной связи. Для системы с единичной обратной связью ( рис. 25)
,
(69)
где
,
описывается
выражением (69) и называется передаточной
функцией разомкнутой системы.
Она связывает Z-преобразования
последовательностей у[i]
и
v
[i]
при
разорванной обратной связи и равенстве
нулю сигналов
и
f[i].
В стандартной
форме передаточная
функция разомкнутой системы так же, как
и передаточная функция разомкнутого
контура обратной связи, записывается
в виде
,
,
(70)
где
- число дискретных интеграторов, входящих
в передаточную функцию разомкнутой
цифровой системы, a
- безразмерный коэффициент усиления разомкнутой цифровой системы.
Пример. Пусть передаточная функция разомкнутой цифровой системы
,
где
,
,
соответствует
передаточной функции объекта управления
в виде двойного интегратора. Используя
(70)
и
учитывая,
что в этом случае
,
находим коэффициент усиления
,
при этом
,
где
,
,
так что
.
Передаточная функция по возмущающему воздействию (другими словами, функция чувствительности
)
обозначается
и
определяется по формуле
,
(71)
справедливой для обеих структур цифровой системы, изображенных на рис. 24 и 25.
3.
Передаточная
функция по шуму измерения
[другими словами, дополнительная
функция чувствительности
Т*(z),
взятая со знаком минус] обозначается
или -Т*(z)
и
определяется по формуле
.
(72)
4.
Передаточные
функции, связывающие управляющее
воздействие с шумом
измерения
и с возмущающим воздействием
обозначаются
и
соответственно
и определяются как
.
(73)
5.
Передаточная
функция, связывающая управляющее и
возмущающее воздействия,
обозначается
и
определяется как
.
(74)
Заметим, что для системы с одной степенью свободы находит применение передаточная функция по шуму измерения ошибки управления
.
(75)
Лекция 21
3. 22. Уравнения цифровой системы с обратной связью.
Уравнениями цифровой системы с обратной связью называют линейные разностные уравнения, связывающие управляемую y[i] и управляющую u[i] последовательности с внешними последовательностями - задающей V[i], возмущающей f[i] и шума измерений s[i]. Для получения таких уравнений удобно воспользоваться структурной схемой, приведенной на рис. 23.
Так как представленная на этом рисунке схема соответствует линейной системе, для которой справедлив принцип суперпозиции, то Z-изображение управляемой последовательности можно найти как сумму Z-изображений реакций системы на каждую из внешних последовательностей в отдельности. При этом, учитывая определения основных передаточных функций цифровой системы с обратной связью, т.е. принимая во внимание выражения (67-68, 71-74), получаем
,
(76)
,
(77)
Передаточные
функций прямой
и
обратной
связи,
дискретная передаточная функция объекта
управления
,
как соответствующие дискретным фильтрам,
представляют собой отношение многочленов
от z:
,
,
.
(78)
Знаменатели передаточных функций и при формировании закона управления выбираются одинаковыми, что позволяет упростить процедуру синтеза.
Подставляя (78) в (67),(68) и (71-74), находим передаточные функции замкнутой системы также в виде отношения многочленов:
,
,
,
(79)
,
,
где
,
представляет собой характеристический многочлен цифровой системы управления с обратной связью.
Для системы n-го порядка этот многочлен можно преобразовать к виду
,
(80)
где
al,
- постоянные коэффициенты.
Как видим, сигналы в системе с прямой и обратной связью (с двумя степенями свободы) характеризуются шестью передаточными функциями (иногда называемыми «бандой шести»).
Особого внимания заслуживают функция чувствительности и дополнительная функция чувствительности.
Система с единичной обратной связью (с одной степенью свободы) описывается четырьмя передаточными функциями (банда четырех).
Подставляя (79) в (80) и умножая затем левую и правую части полученного выражения Д*(z), находим уравнения цифровой системы с обратной связью в изображениях относительно у*(z):
.
(81)
Заменяя в выражениях для многочленов z на оператор сдвига E и записывая вместо Z-изображений соответствующие последовательности, получаем уравнение цифровой системы с обратной связью в операторной форме
.
(82)
При известных операторных многочленах нетрудно перейти, используя свойства оператора сдвига, к явной форме линейного разностного уравнения цифровой системы с обратной связью.
Если все внешние воздействия отсутствуют, т.е. если
,
то уравнение (81) вырождается в однородное разностное уравнение
.