4. 6. Анализ процессов в нелинейных системах.
Поскольку характер процессов нелинейной системы, как и ее устойчивость, существенно зависит от величины внешних воздействий и начальных условий, в этой ситуации методы линейной теории неприменимы. Трудности анализа и оценивания процессов в них соответствуют сложности решения нелинейных дифференциальных уравнений.
К настоящему времени не разработано общей теории анализа процессов в нелинейных системах, существуют лишь методики, которые позволяют решать отдельные задачи. В этом разделе мы рассмотрим некоторые из них.
Метод фазовой плоскости.
Метод фазовой плоскости применяется для анализа свойств систем второго порядка и основан на использовании аппарата пространства состояний. Суть метода заключается в отображении частных решений дифференциальных уравнений в совокупность фазовых траекторий.
Обсудим способы построения фазового портрета системы, математическая модель которой имеет вид
(1)
Управляющее воздействие u входит в правую часть (1) как параметр. Отметим, что если оно изменяется, то векторное поле будет управляемым. Здесь полагаем u=const и его численное значение учтем в соответствующих функциях, что позволяет модель (1) записать в форме
(2)
В
принципе, задавая множество наборов
значений х1
и
x2,
можно
получить поле векторов скорости (рис.
1) и, двигаясь вдоль них, построить фазовую
траекторию системы из определенных
начальных условий.
Таким образом, мы геометрически определили решение дифференциального уравнения (1) для конкретных начальных условий. Однако в настоящее время этот способ не находит применения, так как наличие развитых средств вычислительной техники позволяет получить требуемую совокупность решений.
Например, фазовый портрет можно построить, используя соответствующий пакет прикладных программ SIMULINK.
Метод гармонического баланса.
1. Основные сведения.
Одним из характерных режимов работы нелинейной системы является автоколебательный режим, когда при отсутствии входного сигнала в системе возникают незатухающие периодические процессы, обусловленные начальными условиями. Подобный режим работы может быть требуемым (например, в различных генераторах колебаний) или же к нему сходятся процессы системы.
Прежде всего, нужно исследовать устойчивость нулевого состояния равновесия нелинейной системы, используя метод Ляпунова или метод Попова. Предположим, что ни один из них не гарантирует устойчивость начала координат. Тогда нулевое состояние равновесия может быть неустойчивым. Следующий шаг- рассмотреть возможность возникновения автоколебаний или предельных циклов и определении их параметров (амплитуды и частоты). Для этих целей был разработан регулярный метод, который в русскоязычной литературе получил название метода гармонического баланса. Этот метод применяется для анализа систем с одним нелинейным элементом, причем для простоты будем полагать, что входное воздействие отсутствует (v=0), а все линейные звенья объединены в одно с передаточной функцией Wл(p). Структурная схема рассматриваемых систем изображена на рис. 3.
Метод гармонического баланса пригоден для исследования автоколебательных систем практически любого порядка, но требует обеспечения условий хорошей фильтрации возникающих на выходе нелинейного звена гармонических составляющих сигнала (выше первой гармоники).
В основе расчетных соотношений метода гармонического баланса лежит способ гармонической линеаризации нелинейного элемента, который мы далее и рассмотрим.