4.10. Частотный способ анализа устойчивости.
Теорема B.M. Попова об абсолютной устойчивости.
Для исследования устойчивости систем со статической нелинейной характеристикой, удовлетворяющей определенным ограничениям, В.М.Поповым был предложен простой способ аналогичный частотным методам анализа устойчивости линейных систем.
Этот способ позволяет оценить так называемую абсолютную устойчивость, т.е. экспоненциальную устойчивость «в малом» при любой форме нелинейности из ограниченного диапазона.
Обсудим суть метода для системы, структурная схема которой изображена на рис. 3 при условии, что v = 0.
Нелинейный элемент (НЭ) представляет собой однозначную статическую характеристику произвольного вида, удовлетворяющую ограничениям
,
(18)
что соответствует заштрихованным секторам на рис. 4.
Рис. 4
Все линейные звенья системы объединены в одно с передаточной функцией
,
причем
линейная часть должна быть устойчива,
т. е.
,
где si
-
полюсы
линейной части.
Приведем без доказательства следующую формулировку графической интерпретации условий теоремы В.М. Попова.
Нелинейная
система будет абсолютно устойчивой,
если можно подобрать хотя бы одну прямую,
проходящую через точку комплексной
плоскости с координатами (
)
так, чтобы видоизмененная амплитудно-фазовая
характеристика линейной части
находилась справа от этой прямой.
Здесь под видоизмененной амплитудно-фазовой характеристикой линейной части
,
(19)
понимается характеристика, связанная с амплитудно-фазовой характеристикой линейной части
,
соотношениями
.
На
рис. 5,а
приведен
пример расположения
,
соответствующего абсолютной устойчивости
системы.
Рис. 5
Отметим, что в этом случае нелинейная система будет устойчива при любой нелинейной характеристике, удовлетворяющей условию (18).
Если не выполняется условие теоремы В.М. Попова, то видоизмененная амплитудно-фазовая характеристика линейной части может иметь вид, показанный на рис. 5,6. В этом случае через характерную точку ( ) невозможно провести прямую, соответствующую графической интерпретации теоремы.
Таким образом, нелинейная система не будет абсолютно устойчивой, однако может быть асимптотически устойчивой при конкретной нелинейной характеристике. Для проверки этого условия следует воспользоваться, например, вторым методом Ляпунова.
В этом разделе мы рассмотрели способы анализа устойчивости нелинейных систем. Однако ни один из них не является универсальным, что обусловлено как сложностью описания самих систем, так и рассмотренными теоремами, с помощью которых можно определить лишь достаточные условия устойчивости.
Исследование нелинейной системы по линейному приближению позволяет оценить, устойчивость лишь для малой окрестности точки равновесия и только в случае, когда линеаризованная система не находится на границе устойчивости. Выбор подходящей функции Ляпунова является своего рода искусством и зависит от вида описания системы и опыта исследователя. Частотный метод В.М. Попова применим только для систем с однозначной статической нелинейной характеристикой.
Следует заметить, что в настоящее время задача аналитической оценки устойчивости потеряла прежнюю актуальность, поскольку разработанное программное обеспечение дает возможность с достаточной точностью вычислять решения дифференциальных уравнений (например, с помощью интегрированной среды MATLAB). Использование метода компьютерного моделирования посредством программы SIMULINK позволяет напрямую оценить свойства системы.
Тем не менее, при проектировании нелинейных систем с заданными свойствами, т.е. для решения задачи синтеза, аппарат второго метода Ляпунова дает важные аналитические конструкции.