
- •Лекция 19
- •Опустить
- •3. 20. Структурная схема цифровой системы с обратной связью.
- •Лекция 20
- •3. 21. Передаточные функции цифровой системы управления с обратной связью.
- •Лекция 21
- •3. 22. Уравнения цифровой системы с обратной связью.
- •3. 23. Анализ цифровых систем с обратной связью (замкнутых цифровых систем). Анализ устойчивости.
- •Опустить
- •3. 24. Анализ точности цифровых систем управления в установившемся режиме.
- •3. 25. Метод, базирующийся на теореме о конечном значении z- преобразования.
- •3. 26. Аналитический метод синтеза (метод размещения полюсов и нулей системы), основанный на моделях типа "вход-выход"
- •Исходные данные
- •Постановка задачи синтеза.
- •Решение задачи.
- •Лекция 22
- •3.27. Размещение полюсов замкнутой цифровой системы с помощью обратной связи по состоянию
- •3.28. Цифровой (дискретный) лкр-регулятор
- •3.29. Цифровой наблюдатель состояния
- •3.31. Цифровой лкг-регулятор (Цифровое линейно-квадратичное гауссовское управление)
- •3.32. Восстановление свойств замкнутой системы.
- •Лекция 23 Читать
- •4. Нелинейные системы управления.
- •4. 1. Модели нелинейных систем управления
- •4. 2. Пространство состояний.
- •4. 3. Структурная расчетная схема нелинейной системы.
- •Лекция 23
- •4. 4. Особенности процессов в нелинейных системах.
- •4. 5. Устойчивость нелинейных систем.
- •4.6. Понятие об устойчивости состояния равновесия.
- •4.7. Исследование устойчивости по линейному приближению.
- •Лекция 24
- •4.8. Второй метод Ляпунова.
- •Теоремы второго метода Ляпунова
- •Пассивность
- •4.10. Частотный способ анализа устойчивости.
- •4. 6. Анализ процессов в нелинейных системах.
- •Метод фазовой плоскости.
- •Метод гармонического баланса.
- •1. Основные сведения.
- •Лекция 25
- •2. Метод гармонической линеаризации.
- •3. Основное уравнение метода гармонического баланса.
- •4. Способ Гольдфарба.
- •5. Коррекция автоколебаний.
- •6 . Условия применимости метода гармонического баланса.
- •7. Насыщение исполнительного устройства
- •Выбор постоянной времени слежения
- •8. Синтез нелинейной следящей системы методом линеаризации обратной связью
- •2.1. Линеаризация вход-состояние
- •2.2. Линеаризация вход-выход
- •2.3. Внутренняя динамика
- •2.4. Нуль-динамика
- •9. Синтез нелинейной следящей системы с помощью скользящего управления
Лекция 19
Рассмотрим два свойства амплитудно-фазовой характеристики цифровой системы:
I.
Амплитудно-фазовая
характеристика цифровой системы
представляет собой периодическую
функцию относительной частоты
с периодом
,
т.е.
,
(55)
Действительно,
,
так как
,
В
связи с периодичностью
для
полного суждения о ее поведении достаточно
знать, какие значения она принимает при
изменении
в любом диапазоне шириной
.
Обычно используют диапазон низких
частот
:
от
до
.
Периодичность
порождает
так называемый стробоскопический
эффект,
который заключается в том, что цифровая
система имеет одинаковую реакцию как
на частоту
,
так
и на частоту
.
Это обстоятельство еще раз свидетельствует
о поглощении частот, вызванной
дискретизацией.
Годограф
,
построенный
на комплексной плоскости
при
изменении
от -
до
,
называется диаграммой
Найквиста.
Кстати, относительная частота измеряется
как [рад/выборку], где под выборкой
понимается число периодов дискретизации
Т,
укладывающееся в период непрерывного
сигнала
.
2. При изменении знака у частоты в аргументе амплитудно-фазовой характеристики получаем комплексно-сопряженное выражение, т. е.
,
(56)
где
- символ комплексно-сопряженного
выражения.
Действительно, представляя в алгебраической форме
,
где
,
,
и учитывая, что
,
находим
,
откуда
вытекает равенство (56). Таким образом,
если известно выражение
для
положительных частот
,
то
нетрудно найти значения этой характеристики
и для отрицательных частот
.
Это свойство позволяет в два раза
уменьшить диапазон изменения частоты
при исследовании поведения
,
т.е. вместо диапазона
дает возможность ограничиться диапазоном
.
Амплитудно-фазовой характеристикой цифровой системы называется не только само выражение , но и годограф построенный, на комплексной плоскости при изменении от 0 до .
На
рис. 19 представлены диаграммы Найквиста
цифровой
и
соответствующей непрерывной
систем,
причем диаграмма цифровой системы
построена при изменении относительной
частоты
от
до
.
Опустить
Если u(k) = sin( k), то имеем
Читать
Для исследования цифровых систем используются также логарифмические частотные характеристики:
амплитудная
,
фазовая
,
построенные
в логарифмическом масштабе
частот
.
На рис. 20 изображены вкачестве примера логарифмические частотные характеристики непрерывной системы с передаточной функцией 1/(р2+1.4p+1) (пунктир) и соответствующей цифровой системы (сплошная).
3. 20. Структурная схема цифровой системы с обратной связью.
Достаточно
полной математической моделью линейной
цифровой системы управления с обратной
связью (замкнутой цифровой системы)
является разностное, уравнение,
связывающее между собой управляемую
последовательность
с внешними воздействиями; для получения
такого уравнения, как и в теории
непрерывных систем, удобно использовать
метод, связанный с построением и
последующим преобразованием структурных
схем цифровых систем.
Рассмотрим стандартную функциональную схему цифровой системы управления, изображенную на рис. 21.
Мультиплексор
Два
измеряемых непрерывных сигнала - задающее
воздействие
и
наблюдаемая величина
- сканируются,
т.е. подключаются поочередно к АЦП, с
помощью мультиплексора. Применение
мультиплексора позволяет избежать
необходимости включения в схему двух
АЦП для преобразования каждого из
сигналов
и
в
отдельности, что с экономической точки
зрения в ряде случаев целесообразно.
Рассматривая АЦП как ключ (дискретизатор),
можно считать, что его функция заключается
в том, чтобы получить задающую
,
и наблюдаемую
,
последовательности.
Разумеется, АЦП преобразует сигналы
и
в цифровую форму не в одно и то же время
.
Однако, принимая во внимание, что время
преобразования занимает ничтожную
часть периода дискретизации T,
задержками в выдаче задающей и наблюдаемой
последовательностей можно пренебречь
и считать, что они появляются на выходе
АЦП в моменты замыкания ключа.
Программа работы ЦВМ определяется выбранным законом управления. Предположим, что в рассматриваемом случае используется линейный закон управления с прямой и обратной связью. При этом ЦВМ осуществляет следующие операции:
Преобразует задающую последовательность
в последовательность прямой связи
в соответствии с заданным алгоритмом. Этому алгоритму соответствует линейное разностное уравнение, связывающее последовательности и . Следовательно, можно считать, что рассматриваемая операция осуществляется дискретным фильтром прямой связи
, описываемым упомянутым разностным уравнением.
преобразует наблюдаемую последовательность
в последовательность обратной связи в соответствии с другим заданным алгоритмом, который в общем случае отличается от алгоритма преобразования в . При этом последовательности
и оказываются связанными линейным разностным уравнением, что можно трактовать как преобразование последовательности в последовательность с помощью дискретного фильтра обратной связи
;
вычисляет управляющую последовательность
,
(57)
как разность последовательностей прямой и обратной связи.
ЦАП,
преобразующий управляющую последовательность
и[i]
в
управляемый сигнал, можно рассматривать,
как фиксатор нулевого порядка Ф.
Пусть объект управления ОУ характеризуется
передаточной функцией
,
связывающей преобразования Лапласа
выходного сигнала объекта
и
управляющего воздействия
.
Управляемую
величину
,
(58)
можно
рассматривать как сумму сигнала
и
возмущающего воздействия
,
приведенного
к выходу объекта управления.
Будем
считать, что в процессе измерения
управляемая величина
искажается
шумом измерения
так,
что наблюдаемый сигнал
.
(59)
Для получения математической модели цифровой системы управления осуществим дискретизацию сигналов и . При этом, используя (58) и (59), получаем уравнения связи
,
(60)
где
-
управляемая
последовательность,
-
последовательность
выхода ОУ,
-
возмущающая
последовательность;
,
(61)
где
- наблюдаемая
последовательность,
-
последовательность
шума измерения.
Заменяя
ЦАП фиксатором и вводя фиктивные ключи
(дискретизаторы), преобразующие
соответственно
в
,
переходим от схемы (рис.21) к блок-схеме,
показанной на рис. 22.
Как
видно из рис. 22, модель цифровой системы
управления, ориентированная на дискретный
фильтр, состоит из соединения трех
дискретных фильтров:
,
и
дискретного фильтра, эквивалентного
последовательному соединению фиксатора,
объекта и ключа. Так как по условию
известны уравнения фильтров
и
,
нетрудно найти соответствующие
операторные передаточные функции этих
фильтров
и
.
Операторная передаточная функция
объекта, управляемого от ЦВМ, может быть
найдена по передаточной функции
:
.
(30)
Отбрасывая
ключи и считая внешними воздействиями
цифровой системы управления
последовательности
,
а
ее выходом последовательность
,
приходим к структурной схеме (рис. 23),
которая отображает разностные уравнения дискретных фильтров
,
,
(62)
,
и уравнения связи (57), (60) и (61) во временной области. Используя Z-преобразование, записываем уравнения (57), (59) - (62) в изображениях. При этом получаем:
I) передаточную функцию объекта, управляемого от ЦВМ,
.
(63)
2) передаточную функцию прямой связи
.
(64)
3) передаточную функцию обратной связи
.
(65)
а также уравнения связи
(66)
По уравнениям (62) - (65) строим структурную схему цифровой системы с обратной связью (рис. 24), отображающую уравнения дискретных фильтров и уравнения связи в комплексной области Z.
В настоящее время структуру системы, представленной на рис. 24, называют структурой с двумя степенями свободы, имея в виду два дискретных фильтра, входящих в управляющее устройство.
Как видим, рассмотрение всех сигналов как числовых последовательностей и введение соответствующих передаточных функций для алгоритмов ЦВМ и объекта управления с ЦАП и АЦП позволили получить структурную схему, аналогичную обычной структурной схеме непрерывной системы. Так же, как и для непрерывных систем, каждый дискретный фильтр подобно непрерывному звену изображается прямоугольником и описывается алгебраическим уравнением. Разница заключается лишь в том, что непрерывные звенья описываются уравнениями в преобразованиях Лапласа, а фильтры - уравнениями в Z – изображениях.
Следовательно, все правила преобразования структурных схем непрерывных систем применимы для упрощения и свертывания структурных схем цифровых систем.
Так, например, если используется закон управления по ошибке, то алгоритмы преобразования сигналов v[i] и y[i] совпадают. При этом
.
Тогда,
перенося элемент суммирования 1 (рис.
24) на вход фильтра с передаточной функцией
и используя соответствующее правило
преобразования структурных схем
непрерывных систем, приходим к структурной
схеме цифровой системы управления с
единичной обратной связью (рис. 25).
На этой схеме:
есть Z-преобразование последовательности ошибки управления
,
а
,
есть
Z-преобразование
последовательности шума измерения
ошибки управления
.
Дело в том, что в цифровых системах с
единичной обратной связью, как правило,
измеряют не v(t)
и
y(t),
а их разность - ошибку управления
,
и
этот процесс сопровождается шумом
измерения
,
так что наблюдается сигнал ошибки