Пример к части 2

Чугунный короткий стержень (рис.1) сжимается продольной силой F, приложенной в точке Р. Поперечное сечение стержня изображено на рис.2.

Требуется:

• построить нулевую линию, определить опасные точки в сечении и вычислить в них напряжения, выразив их через силу F;

• отыскать допустимую силу F, если допустимые напряжения при сжатии _сж = 12 кН/см², при растяжении _раст = 3 кН/см².

Исходные данные b = 10 см.

Р f ешение

Р

Y₀

нл

b

Х₂

Y₂

Рис.1

С₂

b

b

Х₀

О

К₂

Р

у_c

а₂

Y_c

С

Х_c

а_х

Х_c

Y₁

а₁

С₁

2b

а_у

Х₁

К₁

3b

Рис.2

1. Определение положения главных центральных осей.

Сечение имеет одну ось симметрии – она является главной осью, вторая главная ось проходит перпендикулярно первой через центр тяжести всего сечения. Разбиваем сечение на две фигуры.

Определим их геометрические характеристики.

Фигура 1 – прямоугольник b₁ x h₁.

Фигура 2 – квадрат b x b.

Введем произвольную систему координат и определим в ней координаты центров тяжести фигур:

Указание: Одну из осей координат совместить с осью симметрии. В этом случае одна из координат центра тяжести будет равна нулю.

Определим координаты центра тяжести сечения.

Находим во вспомогательной произвольной системе координат положение центра тяжести сечения (точка С) и вводим систему координат Х_сСУ_с.

Оси Х_сУ_с – главные центральные оси.

Определим расстояние а₁ между осями Х₁, Х_с и а₂ – между Х₂, Х_с.

2. Определение главных моментов инерции.

Для отыскания моментов инерции относительно главных центральных осей используем формулу изменения момента инерции при параллельном переносе осей:

3. Построение нулевой линии сечения. Определение опасных точек.

Примечание: Поскольку продольная сила F приложена не в центре тяжести поперечного сечения, то распределение нормальных напряжений не является равномерным и вычисляется по формуле

(1)

где  координата точки P приложения силы F. Положение нулевой линии (НЛ), то есть линии в поперечном сечении, вдоль которой напряжение равно нулю, можно получить, приравняв нулю в формуле (1).

Определим координаты точки P приложения силы F относительно главных центральных осей: . Уравнение нулевой линии в отрезках

Построим нулевую линию по двум точкам:

При

Проводим через полученные точки нулевую линию, отыскиваем наиболее удаленные от нее точки сечения К₁ и К₂ (рис.2).

Примечание: Наибольшие напряжения возникают в точках поперечного сечения, наиболее удаленных от нулевой линии. В точке К₁ возникают максимальные растягивающие напряжения. В точке К₂ – максимальные сжимающие напряжения.

4. Отыскание допустимой нагрузки из условия прочности.

Напряжения в точках К₁, К₂ определяются по формуле (1):

Примечание: Для хрупких материалов пределы прочности при растяжении и сжатии существенно отличаются, поэтому для отыскания допустимой силы F необходимо выполнить условие прочности для напряжений растяжения и сжатия

(2)

Из условия прочности (2) определяем допустимую силу F. В точке К₁ напряжения растяжения

В точке К₂ имеют место сжимающие напряжения:

Выбираем меньшую из двух нагрузок :

Ответ: F_раст = 512 кН.