1.3 Основні правила і формули диференціювання
Спосіб безпосереднього диференціювання громіздкий і досить складний. На практиці ним користуються рідко. Проте саме виходячи з означення похідної можна довести справедливість наступних правил і формул диференціювання елементарних функцій. Сукупність цих формул і таблиця похідних основних елементарних функцій утворюють канон диференціального числення, оскільки дають змогу досить просто і швидко знаходити похідні, не користуючись означенням похідної, тобто диференціювати довільну елементарну функцію, не вдаючись кожного разу до знаходження границі. Ці правила і таблицю похідних студент повинен твердо вивчити напам’ять для успішного опанування техніки диференціювання.
В усіх нижченаведених формулах С – стала величина; u,v – диференційовні функції аргументу x.
I.
Похідна
сталої дорівнює нулеві.
ІІ.
Похідна незалежної змінної дорівнює
одиниці.
ІІІ.
(2)
Похідна алгебраїчної суми скінченного числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій.
IV.
(3)
Похідна добутку двох функцій дорівнює похідній першої функції, помноженій на другу функцію, плюс перша функція, помножена на похідну другої.
V.
(4)
Сталий множник можна виносити за знак похідної.
VI.
(5)
Похідна частки дорівнює добутку похідної чисельника на знаменник мінус добуток чисельника на похідну знаменника; все ділиться на квадрат знаменника.
VII.
Похідна
складеної функції.
Нехай
y
– функція від змінної u,
а u
в
свою чергу функція від незалежної
змінної x,
тобто
y=f(u)
і
u=
причому
значення
не виходять за область визначення
функції f(u).
Тоді
y=
– складена функція від x
(суперпозиція
заданих функцій; функція від функції).
Змінну
називають проміжним
аргументом,
або внутрішньою функцією, а змінну
y=f(u)
– зовнішньою функцією.
До складених відносяться ті функції, у яких остання операція неарифметична. Нагадаємо, що арифметичних операцій чотири: додавання, віднімання, множення і ділення. Наведемо приклади.
1)
Дана функція є суперпозицією двох
елементарних функцій – степеневої і
логарифмічної:
Отже,
це складена функція степеневого виду
з проміжним аргументом
u=
2)
.
Це складена функція показникового виду,
оскільки її можна записати так:
де проміжний аргумент
.
3)
Проміжний
аргумент
Сама
функція y=lnu
– складена,
логарифмічного
виду.
4)
Ця
функція
не
є
складеною, так як
остання
операція (ділення) арифметична.
Будь-яку елементарну функцію можна дістати із основних елементарних функцій за допомогою арифметичних дій, а також операції суперпозиції, тобто утворенням складеної функції. Тому надзвичайно важливе значення набуває правило диференціювання складеної функції. Сформулюємо його.
Правило диференціювання складеної функції з одним проміжним аргументом: похідна складеної функції дорівнює добутку похідної цієї функції по проміжному аргументу на похідну від проміжного аргументу по незалежній змінній.
Отже, похідна складеної функції знаходиться згідно з формулою
(6)
Таблиця похідних основних елементарних функцій
1. |
|
степенева функція |
1. |
|
1a. |
|
1a. |
|
|
1б. |
|
1б. |
|
|
2. |
|
показникова функція |
2. |
|
2а. |
|
2а. |
|
|
3. |
|
3. |
|
|
3а. |
|
3а. |
|
|
4. |
|
4. |
|
|
5 |
|
5. |
|
|
6. |
|
6. |
|
|
7. |
|
7. |
|
|
8. |
|
8. |
|
|
9. |
|
9. |
|
|
10. |
|
10. |
|
|
11. |
|
11. |
|
|
Доцільно ще раз підкреслити, що оскільки, по суті, на основі однієї цієї формули здійснюється диференціювання будь-якого виразу, то студенти не тільки повинні пам’ятати її напам’ять, але й уміти прочитати її словесно.
Якщо
складена функція містить декілька
проміжних аргументів, наприклад,
то
похідна від складеної функції по
аргументу x
дорівнює
(7)
Це правило поширюється і на складені функції, які задаються ланцюжком із довільного скінченого числа проміжних аргументів. У цьому разі потрібно виконати наступні дії:
1) визначити вид складеної функції (функція якого виду – степеневого, логарифмічного, показникового, тригонометричного чи обернено тригонометричного);
2) занумерувати проміжні аргументи;
3) необхідне число разів скористатися правилом диференціювання складеної функції.