5 Електричнi кола при синусоїднiй дiї

5.1 Змiнний струм та його основнi характеристики

На рис.5.1 зображено часовi дiаграми миттєвих значень струму, значення якого змiнюються у часі. Друга та третя дiаграми вiдповiдають перiодичному струмовi.

Рисунок 5.1

Перiодичний струм (напруга, ЕРС)  електричний струм, миттєвi значення якого повторюються через однаковi iнтервали часу.

Перiод T  найменший iнтервал часу, через який миттєве значення перiодичного електричного струму (ЕРС, напруги) повторюється.

Частота електричного струму F(f)  величина, обернена до перiоду електричного струму. Одиница вимiру  герц (Гц = 1/с, кГц= Гц, МГц = МГц).

Змiнний струм (напруга)  перiодичний струм (напруга), середнє значення якого за перiод дорiвнює нулю. Середне значення визначається за формулою:

.

Пульсний струм  перiодичний струм, середнє значення якого за перiод не дорiвнює нулю. На рис.5.1 на другiй дiаграмi показано змiнний струм, на третiй  пульсний струм.

Дiюче (ефективне) значення I перiодичного струму  середньо-квадратичне значення струму за перiод:

, (5.1)

де i  миттєве значення перiодичного струму.

Інакше, дiючим значенням перiодичного струму називається таке значення постiйного струму, який, проходячи через постійний опір , видiляє стiльки ж тепла, скiльки видiляє перiодичний струм за той самий час.

5.2 Синусоїдний струм та його основнi параметри

Синусоїдний струм (напруга, ЕРС)  це електричний струм, який є синусоїдною функцiєю часу. У лiтературi також застосовується назва гармонiчний струм  який змiнюється за синусоїдним чи косинусоїдним законами [4, 5]. На рис.5.2 показано часову дiаграму синусоїдного струму, миттєве значення якого визначається за формулою:

,

де  амплiтуда, (А);  частота (циклічна), (Гц);  кутова частота, (Рад/с);  початкова фаза, радіан (Рад).

а) б)

Рисунок 5.2

Початкова фаза синусоїдного електричного струму – значення фази струму в початковий момент часу ( ). Iнакше, початкова фаза вiдповiдає абсцисi найближчої точки переходу з вiд'ємної пiвхвилi до додатної. На рис.5.2а , на рис.5.2б перша крива має початкову фазу , оскільки , а друга крива  , бо .

Нехай для деякої дiлянки електричного кола струм та напруга становлять: ; , тодi величина зветься зсувом фаз мiж напругою та струмом. Це поняття використовується для характеристики двох коливань однакової частоти.

Отже, зсув фаз мiж напругою та струмом  це алгебраїчна величина, що дорiвнює рiзницi початкових фаз напруги та струму.

Якщо , коливання синфазнi; , коливання протифазнi; ,  напруга випереджає струм на величину ; ,  напруга вiдстає вiд струму на величину .

Цi спiввiдношення справедливi також i для синусоїдної форми запису.

Аргумент синуса (косинуса) являє собою миттєву або поточну фазу : . Зв'язок мiж кутовою частотою та поточною фазою встановлюється спiввiдношеннями: ; .

Дiюче значення синусоїдного струму розраховується за формулою (5.1): , тобто амплiтудне значення бiльше, нiж дiюче. Дiюче значення струму характеризує його енергетичну дiю. Вольтметри (амперметри) у колах змiнного струму показують дiюче значення напруги (струму).

5.3 Подання синусоїдних коливань у виглядi проекцiй векторiв,

що обертаються

Для розрахунку кiл синусоїдного струму застосовують метод комплексних амплiтуд (символiчний метод), який дозволяє розраховувати цi кола алгебраїчним способом, аналогiчно колам постiйного струму. Комплексний метод оснований на замiнi синусоїдних функцiй часу векторами, що обертаються.

Вiдомо, що кожна точка на комплекснiй площинi визначається вектором, початок якого знаходиться в нулі, а кiнець  у точцi, що вiдповiдає даному комплексному числу. Комплексне число можна виразити в трьох формах:

у показниковiй ,

де  модуль комплексного числа;  аргумент (рис.5.3б);

у тригонометричнiй  ;

в алгебраїчнiй  ,

де  дiйсна частина;

 уявна частина комплексного числа.

Очевидно, що ; .

Вектор, який обертається у додатному напрямi (тобто проти годинникової стрiлки) з кутовою швидкiстю , можна подати як комплексно-часову функцію

, (5.2)

де  комплексна амплiтуда;  оператор повороту.

Отже, комплексна амплiтуда синусоїдного струму (напруги) – це комплексна величина, модуль та аргумент якої дорiвнюють вiдповiдно амплiтудi та початковiй фазi синусоїдного струму (напруги).

Комплексна амплiтуда не залежить вiд часу, тобто є нерухомим вектором. Множення комплексної амплiтуди на означає поворот вектора на комплекснiй площинi у позитивному напрямi на кут .

а) б)

Рисунок 5.3

Записуючи комплексно-часову функцiю (5.2) у тригонометричнiй формi

,

бачимо, що синусоїдна функцiя i(t) може розглядатися як уявна частина (5.2) або як проекцiя вектора на уявну вiсь (рис.5.3а):

.

Косинусоїдна функцiя може розглядатися як дiйсна частина або проекцiя на дiйсну вiсь: .

Позначення Im (Re) означає, що застосовується уявна ("image") або дійсна ("real") частина.

5.4 Синусоїдний струм в опорi

Розглянемо коло з резистором, який має активний опiр R. Нехай у колi протікає струм . Тодi за законом Ома напруга на затискачах резистора становитиме:

.

Як бачимо, , тобто напруга i струм в активному опорі збiгаються за фазою, а амплiтуди та дiючi значення пов'язанi законом Ома: ; .

Подамо миттєвi значення напруги та струму через комплексно-часові функції:

;

.

Пiдставимо цi значення до виразу :

.

Якщо рiвнi у будь який час мiж собою реальнi частини, то рiвнi й вектори: . Скоротивши на множник , матимемо

. (5.3)

Це рівняння є законом Ома в комплекснiй формi.

Запишемо комплекснi дiючi значення струму та напруги:

; .

Визначимо миттєву потужнiсть, яка витрачається в опорi. При цьому врахуємо, що .

.

Оскiльки , отримуємо .

Визначимо активну потужнiсть P, яка дорiвнює середньому за перiод значенню миттєвої потужностi:

.

Другий iнтеграл дорiвнює нулю, оскiльки на iнтервалi часу, який кратний перiоду, додатнi та вiд'ємнi площi синусоїдної функцiї однаковi.

5.5 Синусоїдний струм в iндуктивностi

Нехай через iндуктивнiсть протiкає струм . Тоді .

Цей вираз дозволяє зробити такi висновки:

1) ; , отже напруга випереджає струм в iндуктивностi на кут ;

2) амплiтуди (дiючi значення) напруги та струму пов'язанi законом Ома: . Величина , яка вимірюється в омах, зветься iндуктивним опором; обернена до неї величина зветься iндуктивною провiднiстю. Тодi .

Миттєва потужнiсть енергії, що надходить до iндуктивностi, становить:

Очевидно, що активна потужнiсть P = 0.

Подамо миттєвi значення струму та напруги через комплексно-часові функції: ; .

.

З останнього виразу можна зробити такi висновки:

1) операцiя диференцiювання дiйсної функцiї часу за t еквiвалентна множенню на величину комплексно-часової функцiї (зазначимо, що операцiя iнтегрування еквівалентна дiленню на );

2) виконується закон Ома в комплекснiй формi:

, (5.4)

де  комплексний опiр iндуктивностi.

Розглянемо фазовi спiввiдношення комплексних амплiтуд струму та напруги в iндуктивностi. Для цього запишемо у показниковiй формi:

.

Цей вираз пiдтверджує висновок щодо фазового зсуву мiж комплексними амплiтудами та на кут (рис.5.4а). Нагадаємо, що додатні фазовi кути вiдраховують вiд осi +1 проти ходу годинникової стрiлки. Фазовий зсув між напругою і струмом відраховуємо від вектора до вектора .

а) б)

Рисунок 5.4

5.6 Синусоїдний струм в ємності

Нехай через ємнiсть протiкає струм . Миттєвi значення струму та напруги в ємностi пов'язанi спiввiдношеннями:

; .

Аналiз останнього виразу показує:

1) ; , отже напруга в ємностi вiдстає вiд струму за фазою на кут ;

2) амплiтуди (дiючi значення) напруги та струму, пов'язанi законом Ома: . Величина , яка має розмiрнiсть Ом, зветься ємнiсним опором; обернена до неї величина зветься ємнiсною провiднiстю. Тодi .

Активна потужнiсть P = 0, так само як i для iндуктивностi.

Якщо перейти до комплексно-часових функцiй ; та подати за їх допомогою миттєвi значення, можна знайти вирази для комплексних амплiтуд струму та напруги:

; , (5.5)

де ;  комплекснi опiр та провiднiсть ємностi.

Здобутi вирази  це закон Ома в комплекснiй формi для ємностi. Щоб роз-глянути фазовi спiввiдношення, запишемо та множник в показниковiй формi: .

Цей вираз пiдтверджує висновок, що в ємностi напруга вiдстає за фазою вiд струму на кут (рис.5.4б).

5.7 Запитання та завдання для самоперевірки

1. Пояснити основні параметри, що описують синусоїдні коливання: амплітуда, фаза (повна і початкова), період, частота (циклічна і кутова).

2. Що називається часовою діаграмою?

3. Що таке фазовий зсув струму відносно напруги? Чи залежить фазовий зсув від вибору початку відліку часу?

4. Зобразити часові діаграми синусоїдного струму А і синусоїдної напруги В. Яке з цих коливань є випереджальним?

5. Як називаються фазові зсуви, кратні ? Пояснити їх значення.

6. Дати визначення діючому значенню синусоїдного струму. Яке співвідношення є між діючим і амплітудним значеннями?

7. Коло складається з джерела ЕРС В, опору Ом та індуктивності Гн, сполучених послідовно. Вважаючи струм синусоїдним, знайти для моменту с миттєві значення струму, напруг на елементах і потужностей, що підводяться до них; визначити діючі значення струму і напруг на елементах.

Відповідь:  0,975 А;  48,8 В; 48,8 В; 47,5 Вт;  47,5 Вт; 1,1 А; 55 В; 44 В.

8. Зберігши умову попередньої задачі, замінити індуктивність ємністю 100 мкФ.

Відповідь: 0,8 А; 40 В;  40 В; 32 Вт;  32 Вт; 1,26 А; 63 В; 31,5 В.

9. Що називається комплексною амплітудою, комплексним діючим значенням синусоїдного струму, напруги, ЕРС?

10. Як перейти від миттєвих значенням до комплексних і зворотно?

11. Щоб визначити параметри котушки індуктивності (R, L) проведене вимірювання прикладеної напруги (вольтметром) і струму (амперметром) в двох режимах: а) , В, А; б) Гц, В, А._. Знайти параметри котушки, а також показання амперметра при Гц, В.

Відповідь: 100 Ом; 55 мГн; 0,277 А.