15 Кола з розподiленими параметрами. Довгi лiнiї

15.1 Основнi поняття та означення

У попередніх лекціях розглядалися коливання , якi змiнюються тiльки у часi. Але iснують також коливання (сигнали), якi змiнюються як у часi, так i у просторi. Такий сигнал зветься хвилею.

Кола з розподiленими параметрами характеризуються iснуванням в них хвильових процесiв, за яких напруга i струм змiнюються не тiльки за часом , але i у просторi. Характер змiнювання цих величин у просторi може бути подібним до закону їх змiнювання у часi. Якщо, наприклад, на входi кола дiє синусоїдна ЕРС, то в будь-якiй точцi кола з координатою значення напруги (струму) повторюється через перiод T: . При цьому в будь-який фiксований момент часу значення напруги (струму) може повторюватися через деякий просторовий iнтервал : (рис.15.1). Величина зветься довжиною хвилi.

Рисунок 15.1

Загалом коло характеризується трьома лiнiйними розмiрами x, y, z. Якщо ; ; , то коло є системою з зосередженими параметрами. При цьому, по-перше, час запiзнення електромагнiтних коливань у колi значно менший за перiод коливань генератора, ; а по-друге, миттєве значення напруги (струму) однакове у будь-якiй точцi кола.

Iз зменшенням довжини хвилi (iнакше, iз збiльшенням частоти f) вказанi умови не виконуються, i тодi коло буде системою з розподiленими параметрами (хвилеводною системою).

Розглянемо окремий випадок хвилеводних систем, у яких ; ; . Такi системи звуться колами з лiнiйно-розподiленими параметрами або електричними довгими лiнiями. Струм i напруга в лiнiї є функцiями лiнiйної координати x (або l).

Довгi лiнiї є основним елементом будь-якої системи електрозв'язку. В технiцi радiозв'язку прикладом лiнiй є так званi фiдери. Наприклад, двопровiдна лiнiя зв'язку (рис.15.2а) i коаксiальна лiнiя (рис.15.2б). Лiнiї використовуються для передавання електромагнiтної енергiї вiд передавача до антени, вiд антени до приймача та iн. Довгi лiнiї (ДЛ) застосовуються також як елементи радiоапаратури в дiапазонi НВЧ (фазообертачi, лiнiї затримки тощо).

а) б)

Рисунок 15.2

15.2 Первиннi параметри лiнiї

Безпосередньо описати систему з розподіленими параметрами за допомогою рiвнянь Кiрхгофа неможливо, тому що миттєвi значення напруги i струму залежать вiд розмiру кола та часу розповсюдження електромагнiтних хвиль. Разом з тим, будь-яку дiлянку лiнiї довжиною можна подати у виглядi еквiвалентної схеми, яка складається з зосереджених нескiнченно малих елементiв , , , , для яких закони теорiї кiл слушнi повною мiрою (рис.15.3а,б).

а) б)

Рисунок 15.3

Для кількісної оцiнки величин , , , використовуються так званi первиннi параметри лiнiї, якi розраховуються на одиницю довжини:

 первинна iндуктивнiсть, Гн/м (мкГн/м);

 первинна ємнiсть, Ф/м (пФ/м);

 первинний опiр втрат, Ом/м;

 первинна провiднiсть, См/м.

Якщо вiдомi первиннi параметри, тодi ; ; ; . Первиннi параметри залежать вiд частоти i конструкцiї лiнiї. Формули для розрахунку первинних параметрiв визначаються в теорiї поля і наводяться у довiдниковій та навчальній літературі [8].

Якщо первиннi параметри не змiнюються вздовж лiнiї, то лiнiя зветься однорiдною. При синусоїдній дiї використовують поняття первинного комплексного опору i первинної комплексної провiдностi:

; . (15.1)

15.3 Диференцiйнi рiвняння довгої лiнiї

Отже, щоб скористатись законами Кiрхгофа, розглянемо вiдрiзок лiнiї нескiнченно малої довжини з зосередженими параметрами (рис.15.4). Згiдно з другим законом Кiрхгофа

. (15.2)

Рисунок 15.4

У (15.2) використовуються частиннi похiднi, оскiльки напруга u та струм i залежать не тiльки вiд часу, але i вiд координати l.

. (15.3)

Виключивши з формули (15.3) доданки другого порядку малостi та подiливши обидвi частини на , отримуємо:

.

Переходячи вiд до , матимемо:

. (15.4)

Аналогiчно отримуємо рiвняння для струму, використавши перший закон Кiрхгофа: ;

. (15.5)

Координата l у даних формулах вiдраховувалася вiд навантаження. Якщо координату вiдраховувати вiд генератора, треба зробити замiну ; , де  довжина лiнiї. Тодi з (15.4) та (15.3) здобуваємо:

; . (15.6)

Диференцiйнi рiвняння (15.6), якi визначають миттєвi значення струму та напруги в лiнiї, звуться телеграфними рiвняннями. Назва обумовлена iсторично першим застосуванням довгих лiнiй для передачi телеграфних сигналiв.

15.4 Розв'язання диференцiйних рiвнянь при усталеній синусоїдній дії

Аналiтичний розв'язок телеграфних рiвнянь для довiльної дії відсутній. Але розв'язання суттєво спрощується у разi усталеної синусоїдної дії, оскільки можна застосувати метод комплексних амплiтуд:

; . (15.7)

Оскiльки в усталеному режимi закон змiнювання струму та напруги у часi вiдомий, телеграфнi рiвняння переходять з рiвнянь у частинних похiдних у звичайнi диференцiйнi рiвняння:

; . (15.8)

Для розв'язування рiвнянь (15.8), треба роздiлити в них змiннi та . Для цього продиференціюємо рiвняння по :

; . (15.9)

Пiдставивши в (15.9) значення перших похiдних з (15.8), отримуємо так званi хвильовi рiвняння:

; , (15.10)

де величина зветься коефiцiєнтом поширення.

Для розв'язування однорiдних хвильових рiвнянь (15.10) складемо їх характеристичне рiвняння i визначимо його коренi:

; . (15.11)

Загальний розв'язок (15.10), як вiдомо, записується у виглядi:

,

де ;  комплекснi сталi iнтегрування.

Цi ж самi сталi визначають розподiл струму в лiнiї:

.

Тодi

(15.12)

де зветься хвильовим опором довгої лiнiї.

Перейдемо в (15.12) до миттєвих значень напруги:

.

З останнього виразу видно, що у будь-якому перерiзi ДЛ у будь-який момент часу миттєве значення напруги (струму) складається з двох доданкiв: u'  пряма (падаюча) хвиля; u"  обернена (вiдбита) хвиля. Отже, iснує явище суперпозицiї хвиль. Якщо зафiксувати координату , отримаємо коливання u' з постiйною амплiтудою i початковою фазою; якщо зафiксувати момент t = const, матимемо синусоїдне коливання u' зi згасаючою амплiтудою (рис.15.5а).

Зробимо замiну змiнних у виразi для складової u". Тодi

,

де  якісь постійні величини.

Графiчно розподiл миттєвих значень напруги падаючої та вiдбитої хвиль вздовж лiнiї показано на рис.15.5 для трьох послiдовних моментiв часу . Цi графiки можна розглядати як миттєвi знiмки картини розподiлу напруг падаючої та вiдбитої хвиль у лiнiї. Отже, маємо падаючу хвилю, яка поширюється вiд початку до кiнця лiнiї, та вiдбиту хвилю, яка поширюється вiд кiнця до початку лiнiї.

а) б)

Рисунок 15.5

15.5 Вторинні параметри довгої лінії

1.  коефiцiєнт поширення  характеризує змiнювання комплексної амплiтуди напруги чи струму на одиницю довжини лiнiї.

2. , Нп/м  коефiцiєнт ослаблення  величина, що характеризує зменшення амплiтуди хвилi струму чи напруги на одиницю довжини лiнiї i дорiвнює дiйснiй частинi коефiцiєнта поширення.

3. , Рад/м  коефiцiєнт фази  величина, що характеризує змiнювання фази синусоїдної хвилi напруги чи струму на одиницю довжини лiнiї. Коефiцiєнт фази дорiвнює уявнiй частинi коефiцiєнта поширення. Оскiльки є позитивною величиною, існує вiдставання фази коливань падаючої хвилi у будь-якому наступному перерiзi лiнiї вiдносно до попереднього.

4. , м/с  фазова швидкiсть  швидкiсть поширення точки хвилi, фаза коливань у якої залишається незмiнною.

; .

Оскiльки , a , то .

5.  довжина хвилi  вiдстань мiж двома точками хвилi, фаза яких вiдрiзняється на . Тобто

; ; , .

6.  хвильовий опiр  опiр лiнiї амплiтудi падаючої хвилi.

Згiдно з (15.12) .

При такому записi зрозумiло, що комплексна амплiтуда напруги (струму) у будь-якiй точцi лiнiї складається з суми комплексних амплiтуд падаючої ( ) та вiдбитої хвилi ( ). Тодi для хвильового опору з (15.12) матимемо: .

7.  коефiцiєнт вiдбиття  вiдношення комплексної амплiтуди вiдбитої хвилi напруги (струму) до комплексної амплiтуди падаючої хвилi напруги (струму): , , або ,

де  опiр навантаження.

8.  вхiдний опiр у довiльному перерiзi лiнiї  вiдношення комплексних амплiтуд напруги та струму в цьому ж перерiзi.

.

15.6 Рiвняння передачi довгої лiнiї

Рiвняння, якi пов'язують комплекснi амплiтуди напруг i струмiв на входi та виходi лiнiї, звуться рiвняннями передачi довгої лiнiї.

Щоб отримати рiвняння передачi, визначимо сталi , у виразi (15.12), використовуючи для цього граничнi умови.

1. Нехай вiдомi комплекснi амплiтуди напруги та струму на входi лiнiї , . Тодi з (15.12) при , матимемо:

Пiдсумовуючи та вiднiмаючи перше та друге рiвняння, одержимо:

; . (15.13)

Пiдставивши (15.13) до (15.12), матимемо:

(15.14)

Цей вираз можна переписати, застосувавши гiперболiчнi функцiї:

; . (15.15)

Згрупувавши доданки у формулi (15.14), отримуємо:

. (15.16)

Система (15.16) дозволяє розраховувати струм i напругу в будь-якому перерiзi лiнiї, якщо вiдомi вториннi параметри та комплекснi амплiтуди струму i напруги на входi лiнiї.

2. Аналогiчно, якщо вiдомi комплекснi амплiтуди напруги та струму в навантаженнi , , i координата l вздовж лiнiї вiдраховується вiд навантаження, можна отримати систему:

(15.17)

15.7 Довга лiнiя без втрат

Досить часто в радiотехнiцi та електрозв'язку використовуються довгi лiнiї з малими втратами. Так, для мiдних проводiв, якi найбiльш поширенi, на достатньо високих частотах виконуються спiввiдношення: ; . Дiелектрики  поліетилен, фторопласт, полістирол  також мають малi втрати.

Практично, лiнiї з малим ослабленням  це лiнiї порiвняно малої довжини, якi використовуються в областi порiвняно високих частот (фiдери, елементи радiотехнiчних пристроїв, вимiрювальнi лiнiї, узгоджувальнi пристрої). Втрати враховують у таких випадках: 1) розраховуючи лiнiї великої довжини; 2) використовуючи ДЛ в коливальному контурi для визначення добротностi.

В довгих лiнiях без втрат враховуються лише параметри , . Тоді хвильовий опiр буде дiйсною величиною

. (15.18)

Радiочастотнi кабелi мають хвильовий опiр 50, 75, 100, 200, 400 Ом.

Рисою, що вiдрiзняє хвильовi процеси в ДЛ без втрат, є незмiннiсть амплiтуд падаючої та вiдбитої хвилi, оскiльки значення коефiцiєнта ослаблення дорiвнює нулю. Тодi коефiцiєнт поширення буде чисто уявною величиною:

; ; , (15.19)

а у системах (15.16) та (15.17) гiперболiчнi функцiї переходять у тригонометричнi: ; :

(15.20)

(15.21)

На основi (15.21) можна записати формулу для вхiдного опору:

. (15.22)

15.8 Запитання та завдання для самоперевірки

1. Чим відрізняються кола з розподіленими параметрами від кіл з зосередженими параметрами?

2. Що таке довга лінія (ДЛ)? Навести приклади довгих ліній. Де вони застосовуються?

3. Пояснити поняття первинних параметрів ДЛ. Що таке однорідна ДЛ?

4. Скласти диференційні рівняння ДЛ. За якої дії ці рівняння мають розв’язок?

5. Пояснити поняття падаючої та відбитої хвиль.

6. Назвати основні вторинні параметри ДЛ.

7. Що таке рівняння передачі ДЛ? Вивести формули для рівнянь передачі на основі виразу (15.12).

8. Які особливості мають ДЛ з малими ослабленням? У яких випадках принципово необхідно враховувати втрати?

9. Обчислити при частоті 1 кГц хвильовий опір однорідної лінії, коефіцієнт поширення і фазову швидкість, якщо задано первинні параметри: Ом/м, Гн/м, Ф/м; См/м.

Відповідь: Ом; 1/м; м/с.

10. До лінії, яку розглянуто у попередньому завданні, підключається активне навантаження Ом. Розрахувати коефіцієнт відбиття на навантаженні.

Відповідь:

11. Довга лінія, яка живиться від генератора синусоїдної напруги з частотою МГц, має параметри пФ/м; мкГн/м. Знайти фазову швидкість та довжину хвилі в лінії.

Відповідь: м/с; м.

12. Розрахувати вхідний опір лінії без втрат при короткому замиканні. Довжина лінії 35 м, довжина хвилі 50 м, хвильовий опір 505 Ом.

Відповідь: Ом.

13. Вхідний опір лінії довжиною 200 км на частоті 800 Гц дорівнює: при холостому ході Ом, при короткому замиканні Ом. Обчислити вторинні та первинні параметри лінії.

Відповідь: Ом; 1/м; Ом/м, Гн/м, Ф/м; См/м.