1. Зв'язок мiж операторною характеристикою кола I зображеннями часових характеристик.

Нехай вхідна дiя викликає на виходi ЛЕК реакцiю .

1. Якщо , то за визначенням перехiдної характеристики . Якщо перейти до зображень, то ; . Згiдно з визначенням операторної характеристики .Тодi

. (13.7)

Вираз (13.7) визначає операторний спосiб знаходження перехiдної характеристики.

2. Якщо , то за визначенням iмпульсної характеристики . Знайдемо зображення функцiї за допомогою прямого перетворення Лапласа

. (13.8)

У формулi (13.8) пiдiнтегральна функцiя вiдмiнна вiд нуля тiльки там, де не дорiвнює нулю дельта-функцiя , тобто при , (фiльтрувальна властивiсть). Але при нескiнченно малiй тривалостi iмпульсу

, тому .

Отже, , . Тодi

. (13.9)

2. Зв'язок мiж операторною та частотними характеристиками.

Для переходу вiд операторних характеристик до частотних зробимо замiну змiнних: , , , . Тодi формула для прямого перетворення Лапласа (12.1) приймає вигляд:

 (13.10)

пряме однобiчне перетворення Фур'є; а формула для оберненого перетворення Лапласа (12.7) перетворюється так:

 (13.11)

обернене перетворення Фур'є. (Величину j у межах iгноруємо, оскiльки iнтегрування здiйснюється за . Iншими словами, за шлях інтегрування при у формулi (13.11) обирається уявна вiсь).

Отже, для всiх тих функцiй, для яких iснує однобiчне перетворення Фур'є (13.10), останнє є границею, до якої прямує перетворення Лапласа вiд цiєї функцiї, якщо дiйсна частина змiнної прямує до нуля, тобто .

Тодi при зображення функцiї переходить в її комплексну спектральну густину

, (13.12)

операторна передатна функцiя переходить в комплексну передатну функцiю :

, (13.13)

а зображення реакцiї  в комплексну спектральну густину шуканої реакцiї

. (13.14)

Зробимо аналогiчну замiну для передатної та імпульсної характеристик, враховуючи (13.9) :

; (13.15)

. (13.16)

Порiвняння (13.15) з (13.12) показує, що є не що iнше, як комплексна спектральна густина функцiї .

Отже, часова (iмпульсна) характеристика кола i вiдповiдна їй комплексна передатна функцiя кола пов'язанi мiж собою парою перетворень Фур'є: є прямим перетворенням Фур'є для , а є оберненим перетворенням Фур'є для .

Цей факт доводить, що часова характеристика (iмпульсна або перехідна) єдиним чином визначає частотнi характеристики кола i навпаки.

3. Граничнi спiввiдношення мiж часовими та частотними характеристиками кола.

Для оцiнки зв'язку мiж часовими та частотними характеристиками електричних кiл знайдемо також спiввiдношення мiж граничними значеннями часових характеристик (при i ) i граничними значеннями амплiтудно-частотних характеристик (при ; ).

У математицi доведено спiввiдношення

. (13.17)

Нехай  зображення перехiдної характеристики. Тодi

; . (13.18)

Пiдставимо (13.18) до (13.17):

; .

Як було показано вище, вiд операторної характеристики можна перейти до частотної замiною . Тодi матимемо:

. (13.19)

На основi (13.19) можна записати по двi рiвностi для лiвої та правої частин:

; ;

; .

Тодi одержимо

; . (13.20)

13.3 Запитання та завдання для самоперевірки

1. Дати визначення операторної передатної функції кола. Назвати види операторних функцій. Пояснити поняття вхідної функції кола.

2. Назвати основні способи визначення передатних функцій. Записати формулу для знаходження операторного коефіцієнта передачі за напругою за допомогою методу вузлових напруг.

3. Пояснити поняття дробово-рациональної функції. Чому коефіцієнти ДРФ є дійсними числами?

4. Що таке поліном Гурвіца, які його характерні ознаки? Як за допомогою передатної функції здобути характеристичне рівняння кола?

5. Що таке нулю і полюси передатної функції? Зобразити карту нулів і полюсів функції .

6. На вхід електричного кола, яке складається з послідовно з’єднаних елементів кОм, нФ, в момент подається напруга В. Вважаючи відгуком напругу на опорі , знайти передатні операторну та комплексну функції, АЧХ і ФЧХ кола. Визначити операторним способом часові характеристики і , а також відгук на задану дію.

Відповідь: ; ; В.

7. Схему кола зображено на рис.13.2а. Дано: мкГн, Ом, Ом, Ом. Знайти операторну, перехідну та імпульсну характеристики кола, вважаючи дією напругу , а відгуком  напругу . Розрахувати операторним методом напругу , якщо В.

Відповідь: ; ; В; .

а) б)

Рисунок 13.2

8. Схему кола зображено на рис.13.2б. Дано: нФ, Ом. Знайти операторну, перехідну та імпульсну характеристики кола, вважаючи дією напругу , а відгуком  струм . Розрахувати операторним методом струм , якщо В.

Відповідь: ; мСм/с; мА; мСм.