2 Основнi закони та методи розрахунку електричних кiл

2.1 Елементи топологiчної структури кола

Реальнi електричнi кола подаються у виглядi моделей, в яких всi елементи є iдеальними.

Схема  графiчна модель електричного кола, яка зображає його за допомогою iдеальних елементiв.

Топологiя схем  роздiл, що вивчає з’єднання мiж собою iдеальних елементiв електричного кола. Основнi елементи топологiчної структури кола  вiтка, вузол, контур  розглянемо на прикладi кола (рис.2.1а).

а) б)

Рисунок 2.1

Вiтка  частина схеми кола, по якiй проходить один i той самий струм.

Вузол  точка схеми кола, в якiй збiгаються не менше трьох струмiв.

Контур  замкнене окреслення, що проходить через вузли та вiтки. Кiлькiсть вузлiв схеми позначимо M, кiлькiсть вiток  N. Для схеми (рис.2.1а)  M = 4, N = 6.

Граф схеми  графiчне подання електричного кола iз зосередженими параметрами, в якому вiтки зображенi вiдрiзками лiнiй – дугами (ребрами), а вузли  точками (вершинами). Граф, який може бути зображений на площинi без перетину дуг (ребер), зветься планарним графом.

Дерево графа схеми  пiдграф як сукупнiсть дуг графа, що сполучають усi його вершини, не утворюючи контурiв. На рис.2.2 показано планарний граф схеми (рис.2.1а) та два із можливих шести дерев графа.

Хорди графа (головнi вiтки)  пiдграф як сукупнiсть дуг графа, що не входять до вибраного дерева.

Рисунок 2.2

 кiлькiсть вiток дерева графа;

 кiлькiсть головних вiток дерева.

2.2 Задачi аналiзу та синтезу електричних кiл.

Основнi закони електричних кiл

Аналiз кола  визначення електричного стану кола, тобто визначення струмiв i напруг у вiтках кола за вiдомими значеннями параметрiв кола.

Синтез кола  визначення топологiї кола та значень параметрiв iдеальних елементiв кола, які дозволяють отримати задану характеристику.

Розглянемо три основнi закони теорiї електричних кiл.

1. Закон Ома: величина струму в замкненому електричному колi прямо пропорцiйна електрорушiйнiй силi i обернено пропорцiйна опору електричного кола: .

2. Перший закон Кiрхгофа: алгебраїчна сума струмiв, якi збiгаються у вузлi, в будь-який момент часу дорiвнює нулю:

.

При цьому струми, якi входять у вузол, треба брати з одним знаком (наприклад, з "плюсом"), а тi, що виходять з вузла,  з протилежним ("мiнусом"). Для кожного з вузлiв схеми (рис.2.1а) одержимо такi рiвняння:

1. ; 3. ;

2. ; 4. .

Кiлькiсть незалежних рiвнянь, якi складаються на пiдставi першого закону Кiрхгофа, дорiвнює кiлькостi вiток дерева: n = M  1. У даному випадку n = 3 (сума лівих частин рівнянь для чотирьох вузлів дорівнює 0, тобто одне рівняння зайве).

3. Другий закон Кiрхгофа: алгебраїчна сума електрорушiйних сил, дiючих у замкненому контурi електричної схеми, дорiвнює алгебраїчнiй сумi спадів напруг на всiх дiлянках цього контуру в будь-який момент часу:

,

де n  кількість ЕРС; m  кількість пасивних елементів контуру.

Спади напруг та ЕРС, напрям яких збiгається з напрямом обходу контуру, беруть iз знаком "плюс", а всi напруги та ЕРС протилежного напряму  iз знаком "мiнус". Значення напруг записуються в однiй частинi рiвняння, а значення ЕРС  в iншiй. Для схеми (рис.2.1а) маємо такi рiвняння.

I контур: ;

II контур: ;

III контур: .

Кiлькiсть незалежних рiвнянь (контурiв), якi складаються на пiдставi другого закону Кiрхгофа, дорiвнює кiлькостi голoвних вiток дерева i становить

m = N  M + 1 = 6 – 4 + 1 = 3.

Доданки розглянутої системи рiвнянь визначають iз спiввiдношень:

; ; .

Якщо врахувати взаємну вiдповiднiсть напрямiв ЕРС i спадiв напруг (рис.2.3), другий закон Кiрхгофа можна сформулювати так: алгебраїчна сума спадiв напруг у замкненому контурi дорiвнює нулю.

Рисунок 2.3

2.3 Основнi методи розрахунку електричних кiл

Метод рiвнянь Кiрхгофа. Метод базується на розв'язаннi незалежних рiвнянь, якi складено для заданого кола за першим i другим законами Кiрхгофа. Попередньо слiд визначити кiлькiсть вiток у даному колi, задати передбачуванi напрями струмiв у всiх вiтках i напрями обходiв у контурах. Якщо N  кiлькiсть вiток, M – кiлькiсть вузлiв схеми, то здобута система рiвнянь буде мiстити N незалежних рiвнянь: .

Розв’язок системи знайдемо пiдстановкою напруг у першу групу рiвнянь чи струмiв  у другу. В обох випадках одержимо N струмiв або напруг.

Розглянемо приклад для схеми (рис.2.1а) при E = const, тобто розрахуємо режим схеми за постiйним струмом. Враховуючи, що , , одержимо схему (рис.2.1б), для якої запишемо систему рівнянь:

.

З першого рiвняння знайдемо та пiдставимо до третього:

;

.

Виразимо та знайдемо струм з останнього рiвняння:

;

.

Метод еквiвалентних перетворень. Перетворення звуться еквiвалентними, якщо при замiнi однiєї ділянки кола на iншу, простiшу, струми та напруги ділянки кола, яка не була перетворена, залишаються незмiнними.

1. Послiдовне з’єднання елементiв кола  з’єднання кiлькох елементiв, за якого в них проходить один i той самий струм (рис.2.4).

а)

б)

Рисунок 2.4

У вiдповiдностi з принципом еквiвалентного перетворення та законом Ома матимемо: ; .

2. Паралельне з’єднання елементiв  з’єднання кiлькох елементiв так, щоб усi вони були пiд однiєю й тiєю самою напругою (рис.2.5а).

а) б)

Рисунок 2.5

Розмiрковуючи аналогiчно п.1, матимемо

; . (2.1)

Розглянемо паралельне з’єднання двох опорів. Згідно з (2.1) для ділянки кола з R1, R2 (рис.2.6) . Оскiльки , , ,

.

Знайдемо струм у кожнiй з паралельних вiток , якщо вiдомий загальний струм I та значення опорiв , . За законом Ома ; .

Тодi ; .

Здобутий вираз має назву формули розкиду струмiв: струм в однiй з паралельних вiток дорiвнює загальному струму, помноженому на опiр протилежної вiтки i подiленому на суму опорiв обох вiток.

3. Змiшане з’єднання  це поєднання послiдовної та паралельної дiлянок електричного кола. Розраховуючи такі електричні кола, розглядають окремi дiлянки кола з послiдовним та паралельним з’єднанням i застосовують вiдповiднi формули, оскільки універсальної формули для визначення еквiвалентного опору (провiдностi) немає.