13 Операторнi передатнi функцiї електричних кiл

Одним з основних понять теорiї електричних кiл поряд з комплексною передатною функцiєю є передатна операторна функцiя електричного кола.

Операторна передатна функцiя (характеристика) кола  вiдношення вихiдної величини до вхiдної, виражене в операторнiй формi. Iнакше, це вiдношення зображення відгуку до зображення дії за нульових початкових умов.

Якщо позначити лiнiйне електричне коло у виглядi чотириполюсника, на вхiд якого подається дія , а з виходу знiмається вiдгук , то

, (13.1)

де  зображення дії;  зображення відгуку.

Дію на електричне коло може бути задано у виглядi струму або напруги, а шукана реакцiя (вiдгук) , у свою чергу, знаходиться у виглядi напруги мiж заданою парою вузлiв кола або у виглядi струму в якiйсь вiтцi кола. У вiдповiдностi до цього й розрiзняють такi види передатних функцiй:

;  операторний коефiцiєнт передачi за напругою і струмом;

;  операторні передатні опір та провiднiсть.

Будь-яку з передатних функцiй можна розглядати як коефiцiєнт пропорцiйностi мiж зображенням дії i реакцiї за нульових початкових умов, тобто . Отже, якщо відомо операторну передатну функцiю, можна знайти зображення реакцiї , а з нього i реакцiю кола на довiльну дію.

Операторні опiр i провiднiсть двополюсника ; можуть розглядатися як передатнi функцiї кола у випадку, коли реакцiя кола визначається на тiй же парi затискачiв, до якої пiдведено дію. Разом з цим, цi функцiї мають декiлька особливостей, у зв'язку з чим їх називають операторними вхiдними функцiями (характеристиками) електричних кiл.

13.1 Способи визначення операторних функцій

Iснує кiлька способiв визначення операторних функцiй:

1) за законами Ома i Кiрхгофа в операторнiй формi;

2) за методом вузлових напруг.

Розглянемо ЛЕК, яку зображено на рис.13.1а. Нехай загальна кiлькiсть вузлiв у колi дорiвнює M. Оскiльки один вузол (Mй) заземлюється, кiлькiсть незалежних вузлiв дорiвнює n = M1.

а) б)

Рисунок 13.1

Знайдемо операторний коефiцiєнт передачi за напругою

.

За методом вузлових напруг формула для розрахунку вузлової напруги в операторнiй формi має вигляд

, (13.2)

де [ ]  операторна матриця провiдностей;

 операторнi вузловi струми, s = 1,2, ... k, ... n.

Операторна матриця складається вiдповiдно до схеми ЛЕК:

.

Нехай на входi кола дiє джерело струму , (тобто s = 1). Використовуючи матрицю , за формулою (13.2) розрахуємо вузловi напруги:

; . (13.3)

Тодi

. (13.4)

Розрахувавши вiдношення алгебраїчних доповнень матрицi , якi входять до формули (13.4), отримаємо вiдношення полiномiв чисельника та знаменника , кожний з яких мiстить тiльки цiлi степенi аргументу :

. (13.5)

З формули (13.4) виходить, що операторна передатна функцiя є дробовою рацiональною функцiєю (ДРФ) з дiйсними коефiцiєнтами. ДРФ звуться функцiї виду (13.5) комплексної змiнної . ДРФ можна визначити ще, як вiдношення полiномiв i з дiйсними коефіцієнтами. Цi коефiцiєнти i  дiйснi числа, тому що вони є добутком провiдностей.

Функцiя (13.5) зветься правильною, якщо степiнь полiнома чисельника нижчий степеня полiнома знаменника (m < n). Найбiльше з чисел m i n характеризує порядок функцiї.

Якщо винести коефiцiєнти i , то полiноми i можна розкласти на добутки m(n) лiнiйних спiвмножникiв, тобто подати у виглядi

. (13.6)

де  коренi полiнома чисельника, або нулi функцiї ;

 коренi полiнома знаменника, або полюси функцiї .

Оскiльки коефiцiєнти i  дiйснi числа, то комплекснi коренi полiномiв чисельника i знаменника можуть зустрiчатися лише спряженими парами ( i ). Коренi чисельника i знаменника можна показати на комплекснiй площинi. Зображення нулiв та полюсiв операторної функцiї на комплекснiй площинi зветься картою нулiв та полюсiв (рис.13.1б).

Передатна функцiя однозначно пов'язана з параметрами ЛЕК. До знаменника операторної функцiї будь-якого стiйкого електричного кола входить полiном з дiйсними коефiцiєнтами , який зветься характеристичним полiномом або полiномом Гурвiца. Полюси є коренями .

Полiном має характернi ознаки: 1) вiдповiдає режиму вiльних коливань; 2) всi коренi полiнома Гурвiца повиннi знаходитись у лiвiй пiвплощинi; 3) мiстить всi степенi , причому коефiцiєнти при степенях або всi додатнi, або всi вiд'ємнi.

Отже, щоб отримати характеристичне рiвняння, треба записати та прирiвняти знаменник до нуля. Для отримання характеристичного рiвняння можна також скористатись вхiдними операторними функцiями. Якщо вхідною дією є напруга, треба прирiвняти до нуля вхiдний опiр ; якщо дією є струм, то треба розв'язати рiвняння .

Принагiдно нагадаємо, що характер вiльних коливань у колi залежить вiд вигляду коренiв (полюсiв ). Кожному простому дiйсному кореню (полюсу) вiдповiдає доданок ; кожнiй парi простих комплексно-спряжених полюсiв вiдповiдає доданок . Для кратних полюсiв (наприклад, другого степеня кратностi) можна записати . У цих виразах коефiцiєнти , , ,  дiйснi константи.

Наприклад, картi полюсiв (рис.13.1б) вiдповiдає коливання, яке описується функцiєю (всi коренi простi):

.

13.2 Зв'язок між операторними, частотними і часовими характеристиками