12 Операторний метод аналiзу електричних кіл

Iдея операторного методу полягає в тому, що з областi функцiй дiйсного змiнного розв'язання задачі аналізу переноситься до областi функцiй комплексного змiнного .

Iнтегральне перетворення Лапласа дозволяє перетворити у :

. (12.1)

Формула (12.1) є прямим перетворенням Лапласа. Функцiя зветься оригiналом, а функцiя  зображенням.

На накладаються обмеження:

1)  кусково-неперервна;

2) (функцiя тотожно дорiвнює нулю при t <0);

3) , де М i  позитивнi дiйснi сталi. Тобто збiльшується не швидше показникової функцiї (має обмежене зростання).

Друга умова виконується зсувом початку вiдлiку. Перша i третя умови завжди виконуються для реального генератора. Отже, функцiї, якi описують реально можливi дiї, завжди можуть бути перетворенi за Лапласом.

Iнтегральне перетворення Лапласа має двi основнi властивостi:

1. Єдинiсть, тобто мiж зображенням та оригiналом iснує взаємоодно-значна вiдповiднiсть: якщо , то ;

2. Лiнiйнiсть, що дозволяє застосувати принцип суперпозицiї:

Якщо , то .

12.1 Перехiд вiд оригіналу до зображення

Виконується трьома основними способами:

1) за формулою прямого перетворення Лапласа. Наприклад, якщо , то .

Якщо ,

.

2) за таблицями, якi попередньо розраховано i наведено у довiдниках;

3) використовуючи властивостi перетворення Лапласа, якi сформульовано у теоремах. Основнi теореми такi:

а) теорема диференцiювання оригiналу:

, (12.2)

де  значення функцiї, яку диференціюють, в точцi при наближеннi до неї справа. За нульових початкових умов .

б) теорема iнтегрування оригiналу

; (12.3)

в) теорема зсуву оригiналу (теорема запiзнення)

; (12.4)

г) теорема зсуву зображення

. (12.5)

12.2 Перехiд вiд зображення до оригіналу

Також виконується кiлькома способами:

1) за таблицями;

2) за теоремою розкладання.

Згiдно з цiєю теоремою, якщо має вигляд рацiонального дробу , де  степеневі полiноми, причому степiнь чисельника менша за степiнь знаменника i має n рiзних коренiв, тобто , тодi

, (12.6)

де .

У цьому випадку оригiнал кожного з доданкiв (12.6) є експонентою. Формула (12.6) справедлива для простих (непарних) коренiв. Для парних коренiв теорема розкладання ускладнюється.

3) за формулою оберненого перетворення Лапласа

. (12.7)

Безпосередньо формулою (12.7) не користуються. Якщо , то обчислюється як сума лишкiв

.

Лишки визначаються в особливих точках:

.

Приклад 12.1. Коло складається з послiдовно з’єднаних опору та iндуктивностi. До кола вмикається джерело постiйної ЕРС E. Знайти струм.

Пiсля замикання ключа коло описується диференцiйним рiвнянням

.

Нехай функцiї вiдповiдає зображення . За теоремою диференцiювання в областi рiвняння приймає вигляд .

За нульових початкових умов ( ) матимемо: . Отже, отримуємо алгебраїчне рiвняння , з якого знайдемо:

.

Скористаємось теоремою розкладання:

,

де ;

.

Отже, . Тоді .

12.3 Закон Ома i закони Кiрхгофа в операторнiй формi.

Нульовi початковi умови

Розглянемо як приклад послiдовний коливальний контур, до якого увімкнено джерело ЕРС. Дано: ; . Початковi умови нульовi: ; .

Згiдно з другим законом Кiрхгофа ; . Подамо напругу на ємностi у виглядi двох iнтегралiв:

.

Тодi . (12.8)

Перетворимо (12.8) за допомогою прямого перетворення Лапласа:

.

У вiдповiдностi до законiв комутацiї за нульових початкових умов ; . Тодi

. (12.9)

Позначивши ; ; , матимемо запис другого закону Кiрхгофа в операторнiй формi:

. (12.10)

Позначимо  операторний опiр резистора;  операторний опiр iндуктивностi;  операторний опiр ємностi.

Слiд зазначити, що при , ; ; , тобто комплекснi опори ємностi та iндуктивностi  окремий випадок операторного опору. Якщо винести у формулi (12.9) за дужки, отримаємо:

,

де  операторний опiр кола. Тодi матимемо закон Ома в операторнiй формi:

. (12.11)

Розглянемо перший закон Кiрхгофа в операторнiй формi на прикладi кола, яке складається з паралельно з’єднаних опору, ємностi та iндуктивностi. Згiдно з цим законом загальний струм i становить:

; .

Аби застосувати перетворення Лапласа, розпишемо

.

Тодi .

Враховуючи, що ; , матимемо:

.

Оскiльки початковi умови нульовi ( ; ), то

. (12.12)

Позначивши ; ; , отримуємо запис першого закону Кiрхгофа в операторнiй формi

. (12.13)

Згiдно з цим законом сума зображень струмiв, якi входять до вузла, дорiвнює сумi зображень струмiв, що витiкають з вузла.

Iнакше (12.12) можна записати:

, (12.14)

де  операторна провiднiсть кола.

З (12.14) отримуємо закон Ома в операторнiй формi: .

Висновок. За нульових початкових умов етап складання системи диференцiйних рiвнянь кола та її перетворення можна замiнити складанням системи алгебраїчних рiвнянь i розв'язанням цієї системи стандартними методами теорiї кiл в операторнiй формi.

12.4 Урахування ненульових початкових умов

Закони теорії кіл в операторнiй формi справедливі також для ненульових початкових умов, якщо використовувати вiдповiднi схеми замiщення реактивних елементiв.

1. Нехай , тобто ємнiсть заряджена (рис.12.1а). Замінимо заряджену ємнiсть еквiвалентною схемою з незмiнними струмом та напругою на зовнiшнiх затискачах, тобто незарядженою ємнiстю ( ) i деяким джерелом ( ) так, щоб . Оскiльки ємнiсть не заряджена, її можна замiнити операторним опором .

Перейдемо до операторної схеми замiщення (рис.12.1б). При цьому замiнюємо: ; ; . Отже, урахування ненульових початкових умов виявляється у появi нового елемента в схемi  додаткового джерела ЕРС.

а) б) в)

Рисунок 12.1

Iнша схема замiщення зарядженої ємностi може бути знайдена, якщо перейти вiд джерела ЕРС до джерела струму, згiдно до вiдомого спiввiдношення (рис.12.1в). Тодi

.

2. Розмiрковуючи аналогiчно, отримуємо схему замiщення iндуктивностi з струмом. "Заряджену" iндуктивнiсть замiнюємо iндуктивнiстю без струму i додатковим джерелом струму так, щоб , (рис.12.2а).

а) б) в)

Рисунок 12.2

Перехiд до операторної схеми замiщення (рис.12.2б) дає формулу

.

Iнша схема iндуктивностi з струмом може бути знайдена, якщо перейти до джерела ЕРС (рис.12.2в).

Висновок. Пiсля переходу до операторної схеми замiщення з використанням схем замiщення реактивних елементiв задача складання операторних рiвнянь за ненульових початкових умов зводиться до задачі за нульових початкових умов, але з бiльшою кiлькiстю дій.

12.5 Запитання та завдання для самоперевірки

1. У чому полягає ідея операторного методу? Які функції можуть бути перетворені за Лапласом?

2. Записати формулу прямого перетворення Лапласа, назвати його основні властивості

3. Які існують способи переходу від оригіналу до зображення? Сформулювати основні теореми, які стосуються властивостей перетворення Лапласу.

4. Які існують способи переходу від зображення до оригіналу? Сформулювати теорему розкладання.

5. Сформулювати закон Ома і Кірхгофа в операторній формі. Пояснити поняття операторних опору та провідності кола.

6. Як врахувати ненульові початкові умови, переходячи до операторної схеми заміщення кола?

7. Знайти оригінали зображень: ; ; .

Відповідь: ; ; .

8. Електричне коло, яке складається з послідовно з’єднаних елементів Ом, Гн, в момент підключається до джерела ЕРС , В. Знайти струм . Відповідь: А.

9. Електричне коло, яке складається з послідовно з’єднаних елементів Ом, Гн, в момент підключається до джерела ЕРС , В. Знайти струм . Відповідь: А.

10. Електричне коло складається з послідовно з’єднаних елементів кОм, мкФ. Знайти струм , якщо до кола при підключається вхідна напруга В.

Відповідь: мА.

11. * Коло, яке складається з послідовно з’єднаних опору Ом, індуктивності Гн та ємності мкФ, підключається при до джерела ЕРС , В .Знайти струм у колі.

Відповідь: А.

12. До джерела постійної напруги В при підключаються послідовно з’єднані елементи: Ом, мкФ, Ом, мкФ. Знайти напругу на ділянці .

Відповідь: В.