1. Одинична функцiя. Перехiдна характеристика.

Розглянемо першу типову дiю, яка має назву одиничної функцiї, або функцiї увiмкнення (функцiї Хевiсайда). Графiчно ця функцiя показана на рис.11.1, а аналiтично записується як

. (11.3)

Якщо одинична функцiя має запiзнення , то

.

Рисунок 11.1

Перехiдна характеристика чисельно дорiвнює реакцiї кола на одиничну функцiю (одиничний стрибок) за нульових початкових умов.

Вимiрнiсть визначається вiдношенням вимiрностi вiдгуку до вимiрностi одиничного стрибка. Якщо, наприклад, дiю задано у виглядi одиничного стрибка напруги, i вiдгуком є також напруга, то  безрозмiрна величина. Якщо при такiй самiй дiї як вихiдну величину вибрано струм, то має вимiрнiсть провiдностi (См).

Приклад 11.1. До послiдовно з’єднаних опору i ємностi пiдключається джерело ЕРС . Знайти перехiднi характеристики, вважаючи вiдгуком спади напруги на опорi та ємностi.

Подiбна задача вже розв'язана вище класичним методом. За нульових початкових умов ( ) ; . Щоб знайти , треба прирiвняти Е = 1В. Тодi ; (рис.11.2а).

а) б)

Рисунок 11.2

2. Дельта-функцiя. Iмпульсна характеристика.

Розглянемо другу типову дiю, яка має назву дельта-функцiї, або одиничного iмпульсу (функцiї Дiрака). Графiчно ця функцiя показана на рис.11.3, а аналiтично записується як .

Якщо дельта-функцiя має запiзнення , то .

Рисунок 11.3

Отже, дельта-функцiя має нескiнченно велике значення на нескiнченно малому iнтервалi часу, поза цим iнтервалом функцiя дорiвнює нулю, причому площа , яка обмежена цiєю функцiєю, дорiвнює одиницi, тобто

; .

Зазначимо, що дельта-функцiя є математичною абстракцiєю, але має реальний аналог у виглядi однополярного короткочасового iмпульсу, тривалiсть якого значно менша часу перехiдного процесу ( , ).

Дельта-функцiя має фiльтрувальну властивiсть, яка широко використовується у теорії кіл: ; .

Iмпульсна характеристика чисельно дорiвнює реакцiї кола на одиничний iмпульс (дельта-функцiю) за нульових початкових умов. Вимiрнiсть визначається вiдношенням вимiрностi вiдгуку до вимiрностi одиничного iмпульсу, помноженої на секунду. Якщо, наприклад, дiю задано у виглядi напруги, а вiдгуком є струм, то iмпульсна характеристика має вимiрнiсть А/(Вс).

3. Зв'язок мiж i встановлюється формулами

; . (11.4)

Знайдемо iмпульсну характеристику для кола, яке розглянуто у прикладi 11.1. За класичним методом не визначають безпосередньо, а використовують вираз (11.4). У даному випадку при ; . Тодi для напруги на ємностi імпульсна характеристика має вигляд: , а для напруги на опорi: , де  стала часу. Вiдповiднi графiки зображено на рис.11.2б.

11.2 Визначення відгуку кола на складну дію за допомогою перехідної характеристики. Інтеграл Дюамеля

Припустимо, що зовнiшня дiя задана у виглядi функцiї (рис.11.4а). Задану неперервну дiю при можна подати як суму початкового "стрибка" (ступінчастої дiї) та множини нескiнченно малих "сходинок" , якi послiдовно змiщуються за часом на iнтервал . Цi елементарнi дiї продовжуються обов'язково до +, хоча можуть починатися у рiзнi моменти часу i мати рiзну висоту (рис.11.4б). Одну з таких елементарних дiй позначено на рис.11.4 штрихуванням. Таке подання функцiї буде точним, якщо , (n  кiлькiсть "стрибкiв").

а) б)

Рисунок 11.4

Згiдно з визначенням похiдної, знайдемо величину малого стрибка:

;

або, здiйснюючи граничний перехiд,

.

Знайдемо значення реакцiї кола у деякий момент часу . Ступінчаста дiя до моменту t обумовлює реакцiю , де  перехiдна характеристика. Аналогiчно, дiї вiдповiдає вiдгук , або

.

Якщо коло є лiнiйним, до нього можна застосувати принцип суперпозицiї. Тодi вiдгук кола можна визначити як суму елементарних вiдгукiв:

.

Вважаючи, що кожний стрибок на входi нескiнченно малий (тобто , і сума переходить до iнтеграла), отримуємо:

. (11.5)

Вираз (11.5) має назву iнтеграла Дюамеля. В iнтегралi Дюамеля значення вiдгуку залежить вiд моменту спостереження.

11.3 Визначення вiдгуку кола на складну дiю, яка має

розриви першого роду

У спiввiдношенні (11.5) функцiя є неперервною функцiєю за часом. У тому випадку, коли є шматково-неперервною функцiєю, у формулах слiд враховувати iснування додаткових, окрiм точки , розривiв першого роду, що еквiвалентне iснуванню додаткових ступінчастих дiй. (Нагадаємо, що розрив першого роду  це порушення неперервностi, при якому iснують границi функцiї у точцi розриву лiворуч i праворуч). Реакцiя на кожну з цих додаткових ступінчастих дiй знаходиться за формулою:

, (11.6)

де  k-та точка розриву неперервностi функцiї .

Вигляд вiдгуку, який розраховується за допомогою iнтеграла Дюамеля, залежить вiд моменту спостереження t. Для функцiї, зображеної на рис.11.5а, маємо три моменти спостереження.

а) в)

б) г)

Рисунок 11.5

1. . При цьому діють нескiнченно-подовженi "стрибки" до моменту t (рис.11.5б). Тодi .

2. (рис.11.5в).

.

3. .

Кожна з отриманих формул справедлива для свого iнтервалу часу.

11.4 Визначення вiдгуку кола на складну дiю за допомогою iмпульсної

характеристики. Iнтеграл накладання

Реакцiю кола на довiльну дiю можна визначити також за допомогою iмпульсної характеристики. Представимо дiю у виглядi суми елементарних вiдеоiмпульсiв прямокутної форми та нескiнченно малої тривалостi. Одну з таких iмпульсних дiй, яку прикладено у момент x, позначено на рис.11.5г. Вона характеризується тривалiстю dx i висотою . Нескiнченно мала складова реакцiї, яка обумовлена цiєю дiєю, складе , оскiльки площа iмпульсної дiї дорiвнює .

У вiдповiдностi з принципом накладання повна реакцiя кола у момент t дорiвнюватиме сумi нескiнченно великої кiлькостi нескiнченно малих складових . Отже

. (11.7)

Якщо зробити замiну змiнних , то пiсля перетворень, матимемо:

. (11.8)

Інтеграли (11.7)  (11.8) мають назву iнтегралiв накладання.

11.5 Запитання та завдання для самоперевірки

1. Які функції називаються типовими? Назвати їх особливості.

2. У чому полягає часовий метод аналізу перехідних процесів? За яких дій застосування часового методу є найдоцільнішим?

3. Дати визначення перехідної та імпульсної характеристик кола. Яку вимірність має перехідна (імпульсна) характеристика?

4. На вхід електричного кола, яке складається з послідовно з’єднаних елементів кОм, мкФ, подається прямокутний імпульс з амплітудою мВ і тривалістю мс. Знайти напругу на опорі , побудувати графік . Відповідь: .

5. Зберігши умови попереднього завдання, знайти напругу на ємності, побудувати графік .

6. Електричне коло складається з послідовно з’єднаних елементів кОм, мкФ. Знайти напругу на опорі , якщо до кола підключається вхідна напруга , В, мс:

а) ; б) .

Відповідь: а) ;

б) .

7. Послідовно з’єднані опір та ємність підключаються при до джерела ЕРС у вигляді симетричного трикутного імпульсу амплітудою 1 В і тривалістю 2T. Знайти струм при .

Відповідь: .

8. Електричне коло складається з послідовно з’єднаних елементів , . В момент до кола підключається ступінчаста ЕРС . Знайти струм при та .

Відповідь: .